待ち行列理論(その 6)

数学・OR

M/M/s(s\geq 2) 型待ち行列(続き)

p_n が具体的にわかったので
L_q=\sum_{n=s+1}^\infty (n-s)p_n,L=\sum_{n=1}^\infty np_n
を具体的に求めてみましょう(L_q の式の形に注意 !)。
\begin{align}L_q&=\sum_{n=s+1}^\infty (n-s)p_n\\&=\sum_{k=1}^\infty kp_{s+k}\\&=\sum_{k=1}^\infty k\frac{1}{s!s^k}(\frac{\lambda}{\mu})^{s+k}p_0\\&=\frac{(\lambda/\mu)^s}{s!}p_0\sum_{k=1}^\infty k(\frac{\lambda}{s\mu})^k\\&=\frac{(\lambda/\mu)^s}{s!}p_0\frac{\frac{\lambda}{s\mu}}{(1-\frac{\lambda}{s\mu})^2}\\&=\frac{(\lambda/\mu)^s}{s!}\frac{s\lambda\mu}{(s\mu-\lambda)^2}p_0\\&=\frac{\lambda\mu(\lambda/\mu)^s}{(s-1)!(s\mu-\lambda)^2}p_0.\end{align}
L-L_q はちょっと技を使います。
\begin{align}L-L_q&=\sum_{n=1}^\infty np_n-\sum_{n=s+1}^\infty (n-s)p_n\\&=\sum_{n=1}^s np_n+\sum_{n=s+1}^\infty \{n-(n-s)\}p_n\\&=\sum_{n=1}^s np_n+\sum_{n=s+1}^\infty sp_n\\&=\sum_{n=1}^s\frac{\lambda}{\mu}p_{n-1}+\sum_{n=s+1}^\infty\frac{\lambda}{\mu}p_{n-1}\\&=\frac{\lambda}{\mu}\sum_{n=0}^{s-1}p_n+\frac{\lambda}{\mu}\sum_{n=s}^\infty p_n\\&=\frac{\lambda}{\mu}\sum_{n=0}^\infty p_n=\frac{\lambda}{\mu},\end{align}
従って L=L_q+\frac{\lambda}{\mu}.
W_q,W については、単一窓口の場合と同じくリトルの公式 L_q=\lambda W_q,L=\lambda W が成り立つので
W_q=\frac{L_q}{\lambda}=\frac{\mu(\lambda/\mu)^s}{(s-1)!(s\mu-\lambda)^2}p_0,
W=W_q+\frac{1}{\mu}
が成り立ちます。
単一窓口のときと同様に W=W_q+\frac{1}{\mu} が成り立っていますが、これはきわめて自然な関係式です。何故なら、「系待ち時間 = 列待ち時間 + 平均サービス時間」という関係式だからです。
なお、各々の結果で s=1 とおくと、M/M/1 型待ち行列のときと同じ結果が得られますので、s\geq 2 という仮定は実は不要であることも分かりました。