待ち行列理論(その 5)

数学・OR

M/M/s (s\geq 2) 型待ち行列

今度は窓口が複数の場合を考えてみましょう。そうすると、客の到着に関しては今まで通りですが、サービスの方が確率が若干変化します。すなわち、時刻 (t,t+\Delta t) の間に一人のサービスが終わる確率は、窓口が複数であることから
\left\{\begin{array}{ll}n\mu\Delta t+o(\Delta t)&(1\leq n\leq s)\\s\mu\Delta t+o(\Delta t)&(n\geq s)\end{array}\right.
と変化します。一方で時刻 (t,t+\Delta t) の間に二人以上のサービスが終わる確率は o(\Delta t) です。従って、時刻 (t,t+\Delta t) の間に一人もサービスが終了しない確率は
\left\{\begin{array}{ll}1-n\mu\Delta t+o(\Delta t)&(1\leq n\leq s)\\1-s\mu\Delta t+o(\Delta t)&(n\geq s)\end{array}\right.
となります。

以下は M/M/1 型待ち行列のときと同じように考えて微分方程式系を立て、t\to\infty での平衡状態を求めると
\left\{\begin{array}{ll}0=-\lambda p_0+\mu p_1&\\0=\lambda p_{n-1}-(\lambda+n\mu)p_n+(n+1)\mu p_{n+1}&(1\leq n<s)\\0=\lambda p_{n-1}-(\lambda+s\mu)p_n+s\mu p_{n+1}&(n\geq s)\end{array}\right.
となり、
p_n=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{n!}(\frac{\lambda}{\mu})^n p_0&(n\leq s)\\\frac{1}{s!s^{n-s}}(\frac{\lambda}{\mu})^n p_0&(n\geq s)\end{array}\right.
となります。ところで
\begin{align}1&=\sum_{n=0}^\infty p_n\\&=p_0\{\sum_{n=0}^{s-1}\frac{1}{n!}(\frac{\lambda}{\mu})^n+\sum_{n=s}^\infty\frac{1}{s!s^{n-s}}(\frac{\lambda}{\mu})^n\}\\&=p_0\{\sum_{n=0}^{s-1}\frac{1}{n!}(\frac{\lambda}{\mu})^n+\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{s!s^{k}}(\frac{\lambda}{\mu})^{k+s}\}\\&=p_0\{\sum_{n=0}^{s-1}\frac{1}{n!}(\frac{\lambda}{\mu})^n+\frac{(\lambda/\mu)^s}{s!}\sum_{k=0}^\infty(\frac{\lambda}{s\mu})^k\}\\&=p_0\{\sum_{n=0}^{s-1}\frac{1}{n!}(\frac{\lambda}{\mu})^n+\frac{(\lambda/\mu)^s}{s!}\frac{1}{1-\frac{\lambda}{s\mu}}\}\\&=p_0\{\sum_{n=0}^{s-1}\frac{1}{n!}(\frac{\lambda}{\mu})^n+\frac{(\lambda/\mu)^s}{(s-1)!\{s-(\lambda/\mu)\}}\}\end{align}
なので
p_0=\frac{1}{\sum_{n=0}^{s-1}\frac{1}{n!}(\frac{\lambda}{\mu})^n+\frac{(\lambda/\mu)^s}{(s-1)!\{s-(\lambda/\mu)\}}}
となります。(続く)