待ち行列理論(その 4)

数学・OR

M/M/1 型待ち行列(続き)

さて、p_n=\rho^n(1-\rho) とわかったところで L_q,L,W_q,W を求めてみましょう。そのために一つ公式を用意しておきます。|x| \lt 1 のとき
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n
の両辺を x について微分して
\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1},
故に
\frac{x}{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^\infty nx^n.
\begin{align}L_q&=\sum_{n=1}^\infty (n-1)p_n\\&=\sum_{n=1}^\infty np_{n+1}\\&=(1-\rho)\sum_{n=1}^\infty n\rho^{n+1}\\&=\rho(1-\rho)\sum_{n=1}^\infty n\rho^n\\&=\rho(1-\rho)\frac{\rho}{(1-\rho)^2}=\frac{\rho^2}{1-\rho},\end{align}
\begin{align}L-L_q&=\sum_{n=0}^\infty np_n-\sum_{n=1}^\infty (n-1)p_n\\&=\sum_{n=1}^\infty\{n-(n-1)\}p_n\\&=\sum_{n=1}^\infty p_n\\&=1-p_0=\rho,\end{align}
ゆえに
L=L_q+\rho=\frac{\rho}{1-\rho}(=\frac{\lambda}{\mu-\lambda}).
さて、今度は待ち時間ですが、W_q は、客が到着してからサービスを受け始めるまでの時間であり、この間に到着する客の平均数は \lambda W_q です。そして、待ち行列が平衡状態にあるとき、これが L_q に等しいと考えられるので
L_q=\lambda W_q
が成り立ちます。これをリトルの公式と言います。この公式から
W_q=\frac{L_q}{\lambda}=\frac{\rho^2}{\lambda(1-\rho)}=\frac{\rho}{\mu(1-\rho)}
とわかります。L と W についても同じようにリトルの公式 L=\lambda W が成り立つので
W=W_q+\frac{1}{\mu}=\frac{1}{\mu(1-\rho)}.
以上が M/M/1 型待ち行列の基本公式となります。