指数分布とポアソン分布(後編) - Red cat の数学よもやま話

客の平均到着率を $\lambda$ とします。このとき、時刻 $(0,t]$ の間に到着する客の数は期待値 $\lambda t$ のある分布に従っているはずです。今仮に、それがポアソン分布であるとしましょう。その確率密度関数は
$\frac{(\lambda t)^i e^{-\lambda t}}{i!}$ … (*)
です。最後の客が到着した時点から起算して、次の客が到着するまでの時刻を表す確率変数を $T$ とするとき、時刻 $(0,t]$ の間に客が来ない確率 $P(T\gt t)$ は (*) で $i=0$ の場合ですから
$P(T \gt t)=e^{-\lambda t}$
が成り立ちます。すると $T$ の分布関数は
$P(T\leq t)=1-P(T\gt t)=1-e^{-\lambda t}$
なので、これを微分して確率密度関数は
$f_T(t)=\lambda e^{-\lambda t}$
となり、 $T$ は指数分布に従うことが分かります。