共分散の落とし穴 - Red cat の数学よもやま話

二つの確率変数 X , Y が独立なら、共分散
$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$
は 0 になりますが、共分散が 0 だからといって独立になるかというとそうではありません。

例えば X を標準正規分布に従う確率変数とし、 $Y=X^2$ とおきます。このとき $E(X)=E(X^3)=0$ なので
$Cov(X,Y)=E(X^3)-E(X)E(X^2)=0$
ですが、明らかに X と Y は独立ではありません。