三角関数の問題 - Red cat の数学よもやま話

$x$ は方程式 $3\sin x+4\cos x=5$ の解で $0\lt x\lt \frac{\pi}{2}$ とする. このとき $2\sin x+\cos x+4\tan x$ の値を求めよ.

という問題を某所で教えてもらったのでちょっと解いてみました。

まず方程式を
$\frac35\sin x+\frac45\cos x=1$
と変形し、 $\sin\alpha=\frac45,\cos\alpha=\frac35$ を満たす $\alpha(0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2})$ を用いて
$\sin(x+\alpha)=1$
とします。 $0\lt x+\alpha\lt \pi$ なので、これを満たすのは
$x+\alpha=\frac{\pi}{2}$
のみです。したがって $x=\frac{\pi}{2}-\alpha$ となります。これを $2\sin x+\cos x+4\tan x$ に代入すると
$\begin{align}2\sin x+\cos x+4\tan x&=2\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)+\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)+4\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)\\&=2\cos\alpha+\sin\alpha+\frac{4}{\tan\alpha}\\&=2\cdot\frac35+\frac45+\frac{4}{4/3}\\&=\frac65+\frac45+3=5\end{align}$
と綺麗な値になりました。

高校レベルの数学しか使わないので、ぜひ高校生に挑戦してほしい問題だと思いました。まぁここに答書いちゃいましたけどね(笑)。