一般逆行列(その 4) - Red cat の数学よもやま話

ようやく一般逆行列の話に戻ります。

最小ノルム形一般逆行列

線型写像 $A:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^m$ において $\mathbb{C}^n$ には $(\mathbf{x},\mathbf{y})=\mathbf{x}^*\mathbf{y}$ で計量を与えて計量空間とする。 ${\rm rank}A=r$ のとき、 $\mathbf{w}\in{\rm Im}A$ に対して $A\mathbf{v}=\mathbf{w}$ を満たすもののうち $||\mathbf{v}||=\sqrt{\mathbf{v}^*\mathbf{v}}$ が最小なものを考える。
$m\times n$ 行列 $A^*$ の QR 分解 $A^*P = QR$ (P は置換行列)を作れば
${}^tPAQ=R^*=\left(\begin{array}B&O\\*&O\end{array}\right)$
と表せる。ただし $B=(b_{ij})$ ( $1\leq i , j\leq r$ ) は下三角行列で $b_{ii}\neq 0$ (i = 1 , … r) を満たす。
これに行基本変形を施すことで、結局
$SAQ=\left(\begin{array}E_r&O\\O&O\end{array}\right)$
と出来る。そこで方程式系 $A\mathbf{v}=\mathbf{w}$ を
$SAQ\tilde{\mathbf{v}}=\tilde{\mathbf{w}}$ … (*)
と書きかえる。ただし $\tilde{\mathbf{v}}=Q^* \mathbf{v},\tilde{\mathbf{w}}=S\mathbf{w}$ 。
$\tilde{\mathbf{w}}\in{\rm Im}(SA)$ だから
$\tilde{\mathbf{w}}={}^t\left(\tilde{w}_1,\dots,\tilde{w}_m\right)$
において
$\tilde{w}_{r+1}=\dots=\tilde{w}_m=0$
である。したがって、
$\tilde{\mathbf{v}}={}^t\left(\tilde{w}_1,\dots,\tilde{w}_r,\tilde{v}_{r+1},\dots,\tilde{v}_n\right)$
は (*) を満たし、この中で特に
$\tilde{v}_{r+1}=\dots=\tilde{v}_n=0$
なるものが最小ノルムの解を与える。そこで
$A^\vee=Q\left(\begin{array}E_r&D_2\\O&D_4\end{array}\right)S$
(ただし $D_2$ は $r\times(m-r)$ 型、 $D_4$ は $(n-r)\times(m-r)$ 型で任意)
とおけば $\mathbf{v}=A^{\vee}\mathbf{w}$ である。この $A^\vee$ を最小ノルム形一般逆行列という。
さて、 $V^1={\rm Ker}A$ の補空間 $V^0={\rm Im}A^\vee A$ について以下のことがわかる。
簡単な計算で
$A^{\vee}A=Q\left(\begin{array}E_r&O\\O&O\end{array}\right)Q^*$
がわかるから $(A^\vee A)^*=A^\vee A$ である。このことから $V^0=(V^1)^\perp$ が成り立つ。すなわち、一般逆行列に関する ${\rm Ker}A$ の補空間の取り方として、最小ノルム形の場合は ${\rm Ker}A$ の直交補空間を取らなければならないことになる。一方で ${\rm Im}A$ の補空間の取り方には自由度が残るので、S を適当に取り換えることで
$A^\vee=Q\left(\begin{array}E_r&O\\O&D_4\end{array}\right)S$
(ただし $D_4$ は $(n-r)\times(m-r)$ 型で任意)
と書きなおせる。