f(x + y) = f(x) + f(y) を満たす関数 - Red cat の数学よもやま話

タイトルのような関数で連続なものは $f(x)=cx$ ( $c$ は定数)しかありませんが、連続の代わりに
$x\gt 0\Rightarrow f(x)\gt 0$ … (*)
という条件を付けても同じ結果が得られます。

まず、 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ならば、 $f(1)=c$ とおいて、任意の有理数 $r$ に対して $f(r)=cr$ となることが分かります。

さて、(*) の条件を付け加えます。任意の実数 $x$ に対し $r_0\lt x\lt r_1$ を満たす有理数 $r_0,r_1$ が存在します。そして (*) の条件と
$f(x)=f((x-y)+y)=f(x-y)+f(y)$
から $f(x-y)=f(x)-f(y)$ に注意して
$\begin{array}{lcl}x\gt y&\Rightarrow&x-y\gt 0\\&\Rightarrow&f(x-y)\gt 0\\&\Rightarrow&f(x)-f(y)\gt 0\\&\Rightarrow&f(x)\gt f(y)\end{array}$
と $f(x)$ の単調性が導けますから
$r_0\lt x\lt r_1\Rightarrow cr_0=f(r_0)\lt f(x)\lt f(r_1)=cr_1$
が成り立ちます。一方で $c=f(1)\gt 0$ なので
$r_0\lt x\lt r_1\Rightarrow cr_0\lt cx\lt cr_1$
も成り立ちます。故に
$-c(r_1-r_0)\lt f(x)-cx\lt c(r_1-r_0),$
すなわち
$|f(x)-cx|\lt c(r_1-r_0)$ … (**)
が成り立ちます。