Radon - Nikodym 微分(その 6) - Red cat の数学よもやま話

Radon - Nikodym の定理

いよいよ Radon - Nikodym の定理を証明します。証明は長いので数回に分けますが、まず定理の主張を述べておきます。

定理(Radon - Nikodym)

$(S,\mathcal{M},\mu)$ を $\sigma$ 有限な測度空間とする。 $\varphi$ が $(S,\mathcal{M})$ 上の $\mu$ に関して絶対連続な実測度ならば、いたるところ有限な値をとる積分可能な関数 $f(s)$ が存在して
$\varphi(M)=\int_M f(s)d\mu(s)$
となる。この $f$ は、測度 0 の集合上を除いて一意に定まる。

Radon - Nikodym の定理の証明(その 1)

$\varphi$ が正の実測度、 $\mu$ が有限測度の場合を考える。有理数 $r>0$ に対して
$\varphi_r(M)=\varphi(M)-r\mu(M)$
とおく。この $\varphi_r$ の Hahn 分解において
${\varphi_r}^+(M)=\varphi_r(M\cap P_r),{\varphi_r}^-(M)=-\varphi(M\cap{P_r}^c)$
を満たす集合 $P_r$ を考える。

$M\subset P_r$ ならば $\varphi(M)\geq r\mu(M)$
$M\cap P_r=\emptyset$ ならば $\varphi(M)\leq r\mu(M)$

である。 $r(1)<r(2)$ のとき $N_{r(1),r(2)}=P_{r(2)}\cap P_{r(1)}^c$ とおくと

$\varphi(N_{r(1),r(2)})\leq r(1)\mu(N_{r(1),r(2)})$
$\varphi(N_{r(1),r(2)})\geq r(2)\mu(N_{r(1),r(2)})$

が成り立つから、 $\mu(N_{r(1),r(2)})=0$ でなければならない。故に
$N=\bigcup\{N_{r(1),r(2)}:0<r(1)<r(2)\}$
とおけば $\mu(N)=0$ である。従って、 $\varphi$ は $\mu$ に関して絶対連続だから $\varphi(N)=0$ でもあるゆえ、 $P_r$ を $P_r\cup N$ に取り替えても上記 1,2 は成り立ち、なおかつ $r(1)<r(2)$ のとき $P_{r(1)}\cup N\supset P_{r(2)}\cup N$ となるから、初めから
$r(1)<r(2)$ ならば $P_{r(1)}\supset P_{r(2)}$
であるとして良い。また
$N_\infty=\bigcap_{r>0}P_r$
とおくと任意の $r>0$ に対して $N_\infty\subset P_r$ だから $\varphi(N_\infty)\geq r\mu(N_\infty)$ である。 $\varphi(N_\infty)$ は有限値だから、これが成り立つためには $\mu(N_\infty)=0$ でなければならない。故に $\varphi(M_\infty)=0$ であり、 $P_r$ を $P_r\setminus N_\infty$ で置き換えても上記 1,2 は成り立つから、そのようにすることによって
$\bigcap_{r>0}P_r=\emptyset$
であるとして良い。さらに
$P_{+0}=\bigcup_{r>0}P_r$
とおくと任意の $r>0$ に対して $P_r\subset P_{+0}$ 、すなわち ${P_{+0}}^c\subset{P_r}^c$ だから上記 2 によって
$0\leq\varphi({{P_{+0}}^c)\leq r\mu({{P_{+0}}^c)$
となるので $\varphi({{P_{+0}}^c)=0$ となることに注意する。ただし一般に $\mu({{P_{+0}}^c)=0$ とは限らない。
(続く)