Radon - Nikodym 微分(その 5) - Red cat の数学よもやま話

Lebesgue の分解定理

定理

測度空間 $(S,\mathcal{M},\mu)$ に対し、 $(S,\mathcal{M})$ 上の $\sigma$ 有限測度(または実測度)は
$\varphi(M)=\varphi_a(M)+\varphi_s(M)$
ただし

$\varphi_a$ は $\mu$ に関して絶対連続な測度(または実測度)

$\varphi_s$ は $\mu$ と互いに特異なな測度(または実測度)

と分解できる。さらに $S_0\in\mathcal{M}$ があって
$\mu(S_0)=0,\varphi_a(M)=\varphi(M\cap{S_0}^c),\varphi_s(M)=\varphi(M\cap S_0)$
と表される。しかもこの分解は一意的である。

これにより定まる $\varphi$ の分解を Lebesgue の分解と言います。
(証明)
分解の存在を示す。
(i) $\varphi$ が実測度の場合
$\alpha=\sup\{|\varphi|(M):M\in\mathcal{M},\mu(M)=0\}$
とおき、これに対し
$\mu(M_n)=0,|\varphi|(M_n)\geq\alpha-2^{-n}$
なる $M_n$ をとって
$S_0=\bigcup_{n=1}^\infty M_n$
とすれば
$\mu(S_0)=0,|\varphi|(S_0)=\alpha$
となる。そこで
$\varphi_s(M)=\varphi(M\cap S_0)$
とおくと $\varphi_s$ は $\mu$ と互いに特異である。後は
$\varphi_a(M)=\varphi(M)-\varphi_s(M)$
が $\mu$ に関して絶対連続なことを示せばよい。
$\mu(M)=0$ とし $|\varphi(M\cap{S_0}^c)|>0$ とすれば $M^\prime=M\cup S_0$ は
$\mu(M^\prime)=0,|\varphi|(M^\prime)>|\varphi|(S_0)=\alpha$
を満たすので矛盾。従って $|\varphi(M\cap{S_0}^c)|=0$ である。
$\begin{align}\varphi_a(M)&=\varphi(M)-\varphi(M\cap S_0)\\&=\varphi(M\setminus M\cap S_0)\\&=\varphi(M\cap{S_0}^c)\end{align}$
であり、上の事実から
$|\varphi_a|(M)=|\varphi|(M\cap{S_0}^c)=0$
となる。故に $\varphi_a$ は $\mu$ に関して絶対連続。
(ii) $\varphi$ が $\sigma$ 有限測度の場合
$S_n\in\mathcal{M}(n=1,2,\dots)$ で
$\varphi(S_n)<\infty,S=\bigcup_{n=1}^\infty S_n$
を満たすものが存在する。ここで $S_j\cap S_k=\emptyset(j\neq k)$ としてよい。
$\varphi_n(M)=\varphi(M\cap S_n)$
とおくとこれは $(S,\mathcal{M})$ 上の有限測度で
$\varphi(M)=\sum_{n=1}^\infty\varphi(M\cap S_n)=\sum_{n=1}^\infty\varphi_n(M)$
である。(i) で示したことにより、各 $\varphi_n$ に対しては $S_{n,0}\in\mathcal{M}$ があって

$\varphi_{n,a}=\varphi_n(M\cap S_{n,0}^c)$ は $\mu$ に関して絶対連続
$\varphi_{n,s}=\varphi_n(M\cap S_{n,0})$ は $\mu$ と互いに特異

となる。ここに $S_{n,0}\subset S_n$ としてよい。しからば

$S_0=\bigcup_{n=1}^\infty S_{n,0}$
$\varphi_a(M)=\sum_{n=1}^\infty\varphi_{n,a}(M)=\varphi(M\cap{S_0}^c)$
$\varphi_s(M)=\sum_{n=1}^\infty\varphi_{n,s}(M)=\varphi(M\cap S_0)$

は求める分解を与える。
続いて分解の一意性を示す。
$\varphi(M)=\varphi^\prime(M)+\varphi^{\prime\prime}(M)$
で

$\varphi^\prime$ は $\mu$ に関して絶対連続
$\varphi^{\prime\prime}$ は $\mu$ と互いに特異

であるとする。 ${S_0}^\prime\in\mathcal{M}$ を
$\mu({S_0}^\prime)=0,|\varphi^{\prime\prime}|({{S_0}^\prime}^c)=0$
となるように取る。このとき $\varphi^{\prime\prime}(M)=\varphi^{\prime\prime}(M\cap{S_0}^\prime)$ である。よって
$\begin{align}\varphi_s(M)&=\varphi(M\cap S_0)\\&=\varphi^\prime(M\cap S_0)+\varphi^{\prime\prime}(M\cap S_0)\\&=\varphi^{\prime\prime}(M\cap S_0)\\&=\varphi^{\prime\prime}(M\cap S_0\cap{S_0}^\prime)\\&=\varphi(M\cap S_0\cap{S_0}^\prime)\end{align}$
$\begin{align}\varphi^{\prime\prime}(M)&=\varphi^{\prime\prime}(M\cap{S_0}^\prime)\\&=\varphi^\prime(M\cap{S_0}^\prime)+\varphi^{\prime\prime}(M\cap{S_0}^\prime)\\&=\varphi(M\cap{S_0}^\prime)\\&=\varphi_a(M\cap{S_0}^\prime)+\varphi_s(M\cap{S_0}^\prime)\\&=\varphi_s(M\cap{S_0}^\prime)\\&=\varphi(M\cap S_0\cap{S_0}^\prime)\end{align}$
だから $\varphi_s(M)=\varphi^{\prime\prime}(M)$ である。 $\varphi$ が実測度のときは、このことから $\varphi_a(M)=\varphi^\prime(M)$ が従う。 $\varphi$ が $\sigma$ 有限測度のときは、各 $S_n$ に対して $\varphi_a(M\cap S_n)=\varphi^\prime(M\cap S_n)$ が得られるから、これを加えてやはり $\varphi_a(M)=\varphi^\prime(M)$ を得る。