三角加法関数展開形 - Red cat の数学よもやま話

$\sin(x_1+\dots+x_n)$ を加法定理を用いて展開すると、 $S_1=\sin x_1,\dots,S_n=\sin x_n,C_1=\cos x_1,\dots,C_n=\cos x_n$ の $2n$ 変数の多項式になりますが、その一般形を探ってみたら面白いのではないか、という話を、先日知り合いの方と話していました。例えば
$\sin(x_1+x_2)=S_1 C_2+S_2 C_1,$
$\sin(x_1+x_2+x_3)=S_1 C_2 C_3+C_1 S_2 C_3+C_1 C_2 S_3-S_1 S_2 S_3$
$\sin(x_1+x_2+x_3+x_4)=\\S_1 C_2 C_3 C_4+C_1 S_2 C_3 C_4+C_1 C_2 S_3 C_4+C_1 C_2 C_3 S_4\\-S_1 S_2 S_3 C_4-S_1 S_2 C_3 S_4-S_1 C_2 S_3 S_4-C_1 S_2 S_3 S_4$
となります。一般に
$\sin(x_1+\dots+x_n)=f_n,\cos(x_1+\dots+x_n)=g_n$
とすれば
$f_{n+1}=f_n C_{n+1}+g_n S_{n+1},g_{n+1}=g_n C_{n+1}-f_n S_{n+1}$
となるので、この漸化式をもとに一般形は求められそうな気はしますが、はて…。