数学・幾何
実は Pascal の定理とは何の関係も無かったの図。メネラウスの定理とか使うんでしょうかね ?
平面上の 2 次曲線上に 2 点を取ります。また、その 2 点とは別に 3 点を取ります。そして、最初に取った 2 点のそれぞれから、後から取った 3 点に向けて 3 本ずつ直線を引きます。後は図を見て了解していただくとして、2 次曲線に絡む共点定理ができます。…
図の赤線は C から辺 AB に下ろした垂線、G はその垂線の足。こうしてみれば円周角の定理から容易に証明できます。
図において AB = AC, AE = AD だから AB : AE = AC : AD. また ∠BAC = ∠EAD. よって △ABC ∽ △AED. したがって ∠AED = ∠ABC だから ED ∥ BC, すなわち ED ∥ GH. 同様にして FG ∥ DK, KH ∥ EF. 故に六角形 DEFGHK は向かい合う辺が平行な六角形であり, Pascal …
交点は三角形の辺上にある。良く考えれば…。
接円の位置関係次第では双曲線にもなります。
射影幾何の練習問題。青円は各頂点を中心とする円です。
Euler 方陣 さて、前回作った二つの Latin 方陣を重ね合わせてみましょう。このようになります。 の 16 種類の記号が出てきますが、これらはちょうど 1 回ずつだけ現れています。このように、二つの Latin 方陣を重ね合わせたとき、相異なる記号の組が 1 個…
Affine 平面を利用して Latin 方陣を作る 実は、n 次の Affine 平面があれば、それをもとにして Latin 方陣を作ることができます。n = 4 の場合でちょっと試してみましょう。実は、ちょうど 4 個の元からなる体 が存在します。これは、ちょうど 2 個の元から…
異なる n 個の記号が、各行・各列ともに重複なく 1 個ずつだけ配置されたものを n 次の Latin(ラテン)方陣と言います。もっとも簡単な Latin 方陣の作り方は以下のようなものです。ここでは を記号として使います。 見ておわかりの通り、第 2 行は第 1 行を…
さて、n 次の Affine 平面が存在すれば、それを完備化して n 次の射影平面を作ることができました。一方、n 次の射影平面が存在すれば、そこから 1 本の直線と、その上にある (n + 1) 個の点を取り除くことによって n 次の Affine 平面を作ることができます…
Affine 平面の完備化 自然数 に対して、n 次の Affine 平面というものを作りました(全ての に対して存在するとは限りません)。これに「完備化」と呼ばれる作業を施して、射影平面を作ってみます。A を n 次の Affine 平面とするとき、互いに平行な n 本の直…
以前、Affine 平面を話題に取り上げましたが、今回はその拡張である射影平面を取り上げることにします。 射影平面の公理 公理 1 異なる 2 点を通る直線はただ一つ存在する. 公理 2 異なる 2 直線は必ず交わる. 公理 3 同一直線上にない 3 点が存在する. 公理…
三角形の各傍接円が、各辺の延長部分と接する接点、計 6 点が同一二次曲線上にある。証明はまだ出来ていません。どうやって Pascal の定理に持ち込むか…?
前に「証明をまとめて記事にする」と言ってすっかり忘れていました(^_^;) 円に内接する六芒星について、その各頂点から最も近い対辺に垂線を下す。このとき出来る垂線の足 6 点は、同一楕円上にある。 (証明) 以下の図で円周角の定理を使えば であることが分…
最後に、予告通り Affine 平面上の直線の数について特定しておきます。 命題 3 n 次の Affine 平面において、一点を通る直線は (n + 1) 本存在する (証明) Affine 平面上の任意の点 p を取り、p と異なる点 を取る。このとき、公理 3 により、直線 上にない…
Affine 平面の次数の定義 いよいよ Affine 平面の次数の定義のために重要となる定理を示します。 定理 1 Affine 平面上のいかなる直線も、その上にある点の数は同じである。 (証明) Affine 平面上の任意の異なる 2 直線 l , m を与える。 i) l と m が平行で…
もう一つ、Affine 平面の大事な性質を見ておきます。 命題 1.4 Affine 平面上のいかなる点に対しても、その点を通る直線は少なくとも 2 本ある。 (証明) 命題 1.3 により保障された 4 点を p , q , r , s とし、Affine 平面上の任意の点を a とする。一般性…
直線に関する簡単な命題をいくつか見ておきましょう。 命題 1.1 2 本の直線は、交わらないかただ 1 点で交わるかのいずれかである。 (証明) 2 点以上で交わるとすると、その 2 点を通る直線は公理 1 によりただ 1 本のみであるから、2 本の直線は同一となっ…
前回、有限体上の射影平面の点の数と直線の数に関する記事を書きましたが、これは単なるメモなどではなく、今回から始める Affine 平面の話に直結させるために書いたものです。 Affine 平面 まずは公理を三つ用意します。 公理 1 二点 p , q に対して、p と …
有限体 上の射影平面 の点の数は である。また、直線の数も、 の直線の数 に無限遠直線 1 本を加えたものなので である。
Cinderella を用いて分枝ごとに作図したものをペイントで重ね合わせました。
GeoGebraはどう? 様、GeoGebra を紹介していただき、また、貴重なコメントをありがとうございます。 平行であることは、円周角の性質から出ますね。 実は鈍臭くてこの部分が一番良く分かってません(滝汗)。 この問題は、直径とする円を描くのではなく、六芒…
Cinderella で何気なく作図をしていて、面白い事実を発見しました。証明ができていないので、まだ予想の段階ですが、ここに記しておきます。 予想 定円 O に内接する六角形に対して、その各辺を直径とする円を描く。このとき隣り合う円の交点で O 上にないも…
今日は連載をお休みして、かがみさんのところで見つけてきたネタで書こうと思います。 「宇宙は閉じていて有限である」というお話は皆さんも聞いたことがあるかと思います。では、宇宙の外側はどうなっているのか ? 答は、「そんなもの考えても意味がない」…
滑らかな多様体 M と M 上の点 p が与えられたとき、接空間 が構成できます。これは p の適当な近傍 U の上で滑らかな関数の全体 上の自由加群です。従って双対空間 が定義できます。これが余接空間と言われるものです。そして、p の近傍 U で定義される微分…
閉区間 [a,b] で連続な関数 f(x) に対して、その原始関数 F(x) がわかっているとしましょう。すなわち ということ*1ですが、このとき となることは、誰でもご存知でしょう。これを、ちょっと見方を変えるとこんな風になります。 この最後の等号の部分が Stok…
右上の画像は「ボロミアン・リング」と言われるものです。この三つある輪のうち、どれか一つを無いものと思えば、残る二つの輪は絡み合っていません。ところが、三つ合わさった途端に、この輪は外れなくなってしまいます。結び目理論で、どの二つの自明な結…
しばらく代数の話題が続いたので、ここで幾何の話題をお送りします。 今、三次元球面 を とおいて の部分多様体とみなすことにします。 一方で に s.t. によって同値関係を入れ、これによって作られる商集合 を と表し、複素射影直線*1と言います。また、 を…
数学的に見て、正 n 角形のもっとも自然な定義はこうでしょう。 n 個の辺の長さが全て等しく、n 個の内角の大きさが全て等しい n 角形を正 n 角形という。 ところで、n = 3 のとき、つまり正三角形の場合は 三つの辺の長さが全て等しい三角形を正三角形とい…
