Stokes の定理と定積分・Cauchy の積分定理

閉区間 [a,b] で連続な関数 f(x) に対して、その原始関数 F(x) がわかっているとしましょう。すなわち
$\frac{dF(x)}{dx}=f(x)$
ということ*1ですが、このとき
$\displaystyle\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$
となることは、誰でもご存知でしょう。これを、ちょっと見方を変えるとこんな風になります。
$\begin{align}\displaystyle\int_a^b f(x)dx&=\displaystyle\int_{[a,b]}f(x)dx\\&=\displaystyle\int_{[a,b]}dF(x)\\&=\displaystyle\int_{\partial[a,b]}F(x)\end{align}$
この最後の等号の部分が Stokes の定理です。ところで $\partial[a,b]$ って何でしょう。それは、標準 1-単体 [0,1] の境界が
$\partial[0,1]=\{\{1\}\}\cup\{-\{0}\}$
となることから
$\partial[a,b]=\{\{b\}\}\cup\{-\{a}\}$
となります。従って
$\begin{align}\displaystyle\int_{\partial[a,b]}F(x)&=\displaystyle\int_{\{b\}}F(x)+\displaystyle\int_{-\{a\}}F(x)\\&=\displaystyle\int_{\{b\}}F(x)-\displaystyle\int_{\{a\}}F(x)\\&=F(b)-F(a)\end{align}$
となるわけです。
話はここでは終わりません。複素平面内の単連結な領域 D と、その内部の閉曲線 C に対し、C に沿った D 上の正則関数 f(z) の線積分は 0、すなわち
$\int_C f(z)dz=0$
が成り立ちます(Cauchy の積分定理)*2。今、C が囲む閉領域を A として、すなわち $\partial A=C$ となるように A を取って、これにも Stokes の定理を適用してみましょう。その前に
$\begin{align}f(z)dz&=(u+iv)(dx+idy)\\&=(udx-vdy)+i(vdx+udy)\end{align}$
としておきます。すると
$\begin{align}\int_C f(z)dz&=\int_{\partial A}udx-vdy+i\int_{\partial A}vdx+udy\\&=\int_A d(udx-vdy)+i\int_A d(vdx+udy)\\&=-\int_A(u_y+v_x)dx\wedge dy+i\int_A(u_x-v_y)dx\wedge dy\end{align}$
となりますが、ここで Cauchy-Riemann の関係式により、積分の中身は共に 0 となる*3ので、積分は全体として 0 になる、というわけです。
おなじみの定理も、別の定理を使って見直すと、新たな発見があるかもしれませんね。