Jordan 標準形の計算方法(その 1) - Red cat の数学よもやま話

K を体として、n 次正方行列 $A\in M_n(K)$ が与えられたとき、それはアタリマエですが線型写像
$A:K^n\ni\mathbf{x}\to A\mathbf{x}\in K^n$
を引き起こします。そしてそのことは、 $\mathbf{x}\in K^n$ に不定元 t を
$t\mathbf{x}=A\mathbf{x}$
で作用させることにより、 $K^n$ を K[t]-加群と看做せるのだ、ということは以前お話した通りです。そこで A の Jordan 標準形云々の話をしたわけですが、では実際にはどうやって求めたらよいのか、その具体的な方法は書きませんでした。以下、簡単のため R = K[t] とおきます。
$K^n$ の有限表示
${R^m \stackrel{\psi}{\longrightarrow} R^n \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} K^n\longrightarrow 0}$ (exact)
が作れれば
$K^n\stackrel{\sim}{=}R^n/{\rm Ker}\varphi=R^n/{\rm Im}\psi$
となり、 ${\rm Im}\psi$ を調べることによって K[t]-加群としての $K^n$ の構造、そして A の Jordan 標準形を決定できます。(続く)