Jordan 標準形の計算方法(その 2) - Red cat の数学よもやま話

さて、 $K^n$ は K[t] 上有限生成な捩れ加群です。*1そこで話を一般化して、単項イデアル整域 R 上の有限生成捩れ加群 M についての話をします。*2
$S\subset M$ に対して $S$ の零化域を
${\rm Ann}(S)=\{r\in R|rx=0(\forall x\in S)\}\subset R$
と定義します。これは R のイデアルになります。これは一般の環 R と左 R-加群 M に対して定義できるものです。 $S=\{x\}$ のときは ${\rm Ann}(\{x\})$ を単に ${\rm Ann}(x)$ と書きます。
R が単項イデアル整域であれば
${\rm Ann}(x)=(a)$
を満たす $a\in R$ が、R の可逆元との積の違いを除いて一意に定まります。これを x もしくは Rx*3の位数と言います。
さて ${\rm Ann}(M)=(r)$ と表されたとすると、r の素元分解
$r=\varepsilon {p_1}^{e_1}\cdots{p_i}^{e_i}$ ( $\varepsilon$ は R の可逆元)
に対して Chinese Remainder Theorem によって
$R/(r)=R/({p_1}^{e_1})\oplus\cdots\oplus R/({p_i}^{e^i})$
と直和分解できます。そこで R の素元 p に対して
$M(p)=\{x\in M|\exists e>0(p^e x=0)\}$
と定義します。同じことですが
$M(p)=\{x\in M|p\in\sqrt{{\rm Ann}(x)}\}$
です。これを M の p-成分と言います。これによって M は
$M=\oplus M(p)$ (p は R の素元全体を動く)
となることがわかります。*4ところが
$M(p)\neq 0\Rightarrow\exist x\in M(px=0)\Rightarrow p\in\text{Ann}(M)=(r)$
なので、p は r の素因子でなければならず、 $M(p)\neq 0$ となる p は、実は有限個しかありません。従って、r の素元分解に対応して
$M=M(p_1)\oplus\cdots\oplus M(p_i)$
となっているのが実際のところです。
ところで、M が有限生成ですから、その部分加群である M(p) も有限生成です。従って長さ有限の組成列を持ちます。ここで、R-加群 M の組成列とは
$M=M_0\underset{\neq}{\supset}M_1\underset{\neq}{\supset}\cdots\underset{\neq}{\supset}M_n=0$
なる部分 R-加群の列で、各 $M_{i-1}/M_i(i=1,\ldots,n)$ が R-単純であるものを言います。このとき、n の値は M によってのみ決まるので、これを M の長さと言い、 $l(M)$ で表します。
さて、M(p) に対して R のイデアル ${\rm ord}(M(p))=(p^n)(n=l(M(p)))$ を M(p) の位数(または容量)と言います。また、
$M=M(p_1)\oplus\cdots\oplus M(p_i)$
のとき、イデアルとしての積
${\rm ord}(M(p_1))\cdots{\rm ord}(M(p_i))$
を ${\rm ord}(M)$ で表し、M の位数(または容量)と言います。容易にわかるように
${\rm ord}(M(p))\subset{\rm Ann}(M(p))$
なので、必然的に
${\rm ord}(M)\subset{\rm Ann}(M)$
が従います。もし ${\rm ord}(M)=(a),{\rm Ann}(M)=(b)$ と表されていたならば b|a、すなわち、b は a を割り切ることになります。これは、ちょうど行列 A の最小多項式が、特性多項式 $f_A(t)=\det(tE-A)$ を割り切る状況に似ています。実際、K[t]-加群としての $K^n$ に対しての ${\rm Ann}(K^n)$ は A の最小多項式によって生成されることは容易にわかります。ただし、 ${\rm ord}(K^n)$ の生成元が何であるかは、まだ未知の世界であり、さらに議論が必要になります。(続く)