Jordan 標準形の計算方法(その 3)

数学・代数

引き続き R は単項イデアル整域とします。*1
前回定義した {\rm ord}(M) に関するいくつかの性質を調べておきましょう。まず、有限生成 R-捩れ加群の完全列
0\longrightarrow M_1\longrightarrow^f M_2\longrightarrow^g M_3\longrightarrow 0
があったとき、{\rm ord}(M_2)={\rm ord}(M_1){\rm ord}(M_3) を示します。
f が単射なので {\rm Ann}M_2\subset{\rm Ann}M_1 が、また g が全射なので {\rm Ann}M_2\subset{\rm Ann}M_3 が成り立ちます。よって
{\rm Ann}M_2=(r) と表したときの r の素元分解
r=\varepsilon\prod_i{p_i}^{e_i}(\varepsilon\in U(R))
に対応して
M_1=\oplus M_1(p_i),M_2=\oplus M_2(p_i),M_3=\oplus M_3(p_i)
と直和分解します。
そこで、各 p_i に対して
f_{p_i}=f|M_1(p_i),g_{p_i}=g|M_2(p_i)
とおきます。すると f が単射ですから f_{p_i} も単射です。そして x_1\in M_1(p_i) のとき {p_i}^{e_1}x_1=0 となる e_1>0 が存在するので
{p_i}^{e_1}f_{p_i}(x_1)=f_{p_i}({p_i}^{e_1}x_1)=f_{p_i}(0)=0
となり、{\rm Im}f_{p_i}\subset M_2(p_i) がわかります。
次に x_2\in M_2(p_i) のとき {p_i}^{e_2}x_2=0 となる e_2>0 が存在するので
{p_i}^{e_2}g_{p_i}(x_2)=g_{p_i}({p_i}^{e_2}x_2)=g_{p_i}(0)=0
となり、{\rm Im}g_{p_i}\subset M_3(p_i) がわかります。各 i に対して {\rm Im}g_{p_i}\subset M_3(p_i) なので
M_3={\rm Im}g=\oplus{\rm Im}g_{p_i}\subset\oplus M_3(p_i)=M_3
となり、必然的に \oplus{\rm Im}g_{p_i}=\oplus M_3(p_i) となり、{\rm Im}g_{p_i}=M_3(p_i) です。よって g_{p_i} は全射です。
また、y_2\in{\rm Ker}g_{p_i} とするとき y_1\in M_1 で f(y_1)=y_2 となるものがただ一つ存在します。ところで {p_i}^{{e_2}'}y_2=0 となる {e_2}'>0 が存在するから
f({p_i}^{{e_2}'}y_1)={p_i}^{{e_2}'}f(y_1)={p_i}^{{e_2}'}y_2=0
となって {p_i}^{{e_2}'}y_1=0 となり、y_1\in M_1(p_i) がわかります。従って {\rm Ker}g_{p_i}={\rm Im}f_{p_i} がわかります。従って、完全列が
0\longrightarrow M_1(p)\longrightarrow^{f_p}M_2(p)\longrightarrow^{g_p}M_3(p)\longrightarrow 0
の場合に事実を示せば十分であることがわかります。しかし、このとき、加群の長さの性質から明らかに
{\rm ord}(M_2(p))={\rm ord}(M_1(p)){\rm ord}(M_3(p))
が成り立ちます。よって
\begin{align}{\rm ord}(M_2)&=\prod{\rm ord}(M_2(p))\\&=\prod{\rm ord}(M_1(p)){\rm ord}(M_3(p))\\&=\prod{\rm ord}(M_1(p))\prod{\rm ord}(M_3(p))\\&={\rm ord}(M_1){\rm ord}(M_3)\end{align}
となります。*2このことからすぐにわかることとして {\rm ord}(M\oplus N)={\rm ord}(M){\rm ord}(N) が導かれます。(続く)

*1:どうも、R は Dedekind 環であれば良いようですが、そこまで一般化する意味も無いでしょうから、このままで行きます。

*2:R が可換なのでイデアルの積も可換であることに注意。