Jordan 標準形の計算方法(その 4)

数学・代数

なおも一般論です。もちろん R は単項イデアル整域です。R-加群の完全列
0\longrightarrow R^n\longrightarrow^f R^n\longrightarrow^g M\longrightarrow 0
が与えられているとき、{\rm Hom}_R(R^n,R^n)=M_n(R) とみなせるので、f の行列式 \det f\in R が定義できますが、これに対して {\rm ord}(M)=(\det f) となることを示します。
まず、n=1 のときは f\in R とみなせるので \det f=f であり、M\stackrel{\sim}{=}R/(f) ですから、このときは明らかに {\rm ord}(M)=(\det f) です。
n=k のときに成り立つと仮定しましょう。このとき完全列
0\longrightarrow R^{k+1}\longrightarrow^f R^{k+1}\longrightarrow^g M\longrightarrow 0
に対して適当な基底変換
h_1,h_2:R^{k+1}\to R^{k+1}
を施すことによって
{h_1}^{-1}\circ f\circ h_2=f_1\oplus f_2(f_1\in R,f_2\in M_k(R))
と出来ます。ここで \det({h_1}^{-1}\circ f\circ h_2)=\det f\frac{\det h_2}{\det h_1} ですが、\det h_1,\det h_2\in U(R) なので (\det({h_1}^{-1}\circ f\circ h_2))=(\det f) であり、初めから
f=f_1\oplus f_2(f_1\in R,f_2\in M_k(R))
の形をしていると思って構わないことになります。
さて、R^{k+1}=R\oplus R^k なので
{\rm Hom}_R(R^{k+1},M)\stackrel{\sim}{=}{\rm Hom}_R(R,M)\oplus{\rm Hom}_R(R^k,M)
となり
g=g_1+g_2(g_1\in{\rm Hom}_R(R,M),g_2\in{\rm Hom}_R(R^k,M))
と一意に分解することが出来ます。従って
M={\rm Im}g={\rm Im}g_1\oplus{\rm Im}g_2
となり、二つの完全列
0\longrightarrow R\longrightarrow^{f_1}R\longrightarrow^{g_1}{\rm Im}g_1\longrightarrow 0
と
0\longrightarrow R^k\longrightarrow^{f_2}R^k\longrightarrow^{g_2}{\rm Im}g_2\longrightarrow 0
を得ますが、ここで前回の証明と帰納法により
\begin{align}{\rm ord}(M)&={\rm ord}({\rm Im}g_1){\rm ord}({\rm Im}g_2)\\&=(f_1)(\det f_2)\\&=(f_1\det f_2)=(\det f)\end{align}
を得て、めでたく結論が導かれます。(続く)