Jordan 標準形の計算方法(その 5)

数学・代数

さて話を R = K[t] に戻して、R 加群 K^n の有限表示を考えます。
0\longrightarrow R^n\longrightarrow^\psi R^n\longrightarrow^\varphi K^n\longrightarrow 0
を
\varphi\begin{pmatrix}p_1(t)\\\vdots\\p_n(t)\end{pmatrix}=\sum\limits_{i=1}^np_i(A)\mathbf{e}_i,\psi=F_A(t)=tE-A
で定義します。このとき \psi は f_A(t)=\det F_A(t) が n 次の多項式、すなわち 0 でないので単射、また \varphi は全射です。{\rm Im}\psi\subset{\rm Ker}\varphi も容易にわかります。後は {\rm Im}\psi={\rm Ker}\varphi を示せば
0\longrightarrow R^n\longrightarrow^\psi R^n\longrightarrow^\varphi K^n\longrightarrow 0
は完全列となり、K^n の有限表示を得ます。そこで
\dim_KR^n/{\rm Ker}\varphi=\dim_KK^n=n
は準同型定理からすぐにわかるので
\dim_KR^n/{\rm Im}\psi=n
を示すことにします。そうすれば {\rm Im}\psi={\rm Ker}\varphi を示すことが出来ます。完全列
0\longrightarrow R^n\longrightarrow^\psi R^n\longrightarrow R^n/{\rm Im}\psi\longrightarrow 0
を考えると、これまでの議論によって {\rm ord}(R^n/{\rm Im}\psi)=(f_A(t)) です。
今、K を代数閉体とします。このとき、K[t]-加群 M に対して
{\rm ord}(M)=(g),g\neq 0\Rightarrow l(M)=\deg g
を示すことが出来れば良いことがわかります。(続く)