実 Jordan 標準形(後編)

数学・代数

さて、
W=\mathbb{R}[t]/(\{(t-a)^2+b^2\}^l)
の基底をうまくとってやりたい*1のですが、まずは l=1 のときを考えましょう。
W=\mathbb{R}[t]/((t-a)^2+b^2)
において、e_1=b,e_2=t-a とおくと
\begin{align}te_1&=bt\\&=ab+b(t-a)=ae_1+be_2\\te_2&=t(t-a)\\&=(t-a)^2+a(t-a)\\&=-b^2+a(t-a)=-be_1+ae_2\end{align}
となるので、基底 (e_1,e_2) に関する t の行列表示は
\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}
となります。これを参考に、l=2 の場合を考えてみましょう。
ちょっと手抜き(?)して、u=t-a とおき、
W=\mathbb{R}[u]/((u^2+b^2)^2)
への u の作用を考えてみましょう。今、
W'=(u^2+b^2)/((u^2+b^2)^2)
とおくと、W' は W の部分空間で、なおかつ \mathbb{R}[u]/(u^2+b^2) に同型です。これをうまく利用して
e_1=b(u^2+b^2),e_2=u(u^2+b^2),e_3=2bu,e_4=u^2-b^2
とおくと
\begin{align}ue_1&=bu(u^2+b^2)=be_2\\ue_2&=u^2(u^2+b^2)\\&=-b^2(u^2+b^2)+(u^2+b^2)^2\\&=-b^2(u^2+b^2)=-be_1\\ue_3&=2bu^2\\&=b(u^2+b^2)+b(u^2-b^2)=e_1+be_4\\ue_4&=u^3-b^2u\\&=u(u^2+b^2)-2b^2u=e_2-be_3\end{align}
となるため、この基底に関する u の行列表示は
\begin{pmatrix}0&-b&1&0\\b&0&0&1\\0&0&0&-b\\0&0&b&0\end{pmatrix}
となります。遡って、t の行列表示は
\begin{pmatrix}a&-b&1&0\\b&a&0&1\\0&0&a&-b\\0&0&b&a\end{pmatrix}
となります。l\geq 3 の場合も同様で、W の基底を
\begin{align}e_{2k-1}&=\frac{\sqrt{-1}\{(t-a-b\sqrt{-1})^k-(t-a+b\sqrt{-1})^k\}}{2}\{(t-a)^2+b^2\}^{l-k}\\e_{2k}&=\frac{(t-a-b\sqrt{-1})^k+(t-a+b\sqrt{-1})^k}{2}\{(t-a)^2+b^2\}^{l-k}\end{align}
(k=1,2,\ldots,l)
に取れば、t の行列表示が
J(a,b;2l)=\begin{pmatrix}S(a,b)&E_2&&0\\&S(a,b)&\ddots&\\&&\ddots&E_2\\0&&&S(a,b)\end{pmatrix}
(2l 次正方行列、ただし S(a,b)=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix},E_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix})
となることが示せます。これは実 Jordan 細胞と言われています。これを用いると、過去に遡って
\mathbb{R}^n\stackrel{\sim}{=}\left(\oplus\limits_{i=1}^p\mathbb{R}[t]/((t^2+\alpha_i t+\beta_i)^{l_i})\right)\oplus\left(\oplus\limits_{j=1}^q\mathbb{R}[t]/((t-c_j)^{m_j})\right)
なる直和分解が得られれば、これを基に、t の行列表示
\begin{pmatrix}J(a_1,b_1;2l_1)&&&&&0\\&\ddots&&&&\\&&J(a_p,b_p;2l_p)&&&\\&&&J(c_1;m_1)&&\\&&&&\ddots&\\0&&&&&J(c_q;m_q)\end{pmatrix}
が得られることになります。これが実 Jordan 標準形と言われるものです。

*1:もう、いちいち添え字を書くのは面倒なので、添え字は省略しています。