実 Jordan 標準形(前編) - Red cat の数学よもやま話

先日は、群の表現論との関係で、行列のジョルダン標準形の話をしました。今回は、係数体の範囲を実数に限定するとどうなるか、というお話をします。
全く同じ要領で、
$\mathbb{R}^n\stackrel{\sim}{=}\left(\oplus\limits_{i=1}^p\mathbb{R}[t]/((t^2+\alpha_i t+\beta_i)^{l_i})\right)\oplus\left(\oplus\limits_{j=1}^q\mathbb{R}[t]/((t-c_j)^{m_j})\right)$
(ただし $\alpha_i,\beta_i,c_j\in\mathbb{R}$ 、 ${\alpha_i}^2-4\beta_i<0$ 、 $2l_1+\cdots+2l_p+m_1+\cdots+m_q=n$ )
と直和分解することがわかります。しかし、今度は
$W_i=\mathbb{R}[t]/((t^2+\alpha_i t+\beta_i)^{l_i})$
がこれ以上直和分解しないため、複素係数の場合よりも話がややこしくなります。
まず、 $t^2+\alpha_i t+\beta_i=(t-a_i)^2+{b_i}^2$ と変形します。ここで
$a_i=-\frac{\alpha_i}{2},b_i=\sqrt{\beta_i-\frac{{\alpha_i}^2}{4}}>0$
です。そうすると
$W_i=\mathbb{R}[t]/(\{(t-a_i)^2+{b_i}^2\}^{l_i})$
となります。この $W_i$ の基底をうまく取って、t の作用を何か「標準的な」行列で表せないか考えてみます。(続く)