一般逆行列(その 1) - Red cat の数学よもやま話

$A:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^m$ を $m\times n$ 行列 A で与えられる線型写像とする。 $r={\rm rank}A(\leq\min\{n,m\})$ とおけば

$W^0={\rm Im}A$ は $\mathbb{C}^m$ の r 次元部分空間
$V^1={\rm Ker}A$ は $\mathbb{C}^n$ の (n - r) 次元部分空間

である。そこで

$V^1$ の補空間 $V^0$
$W^0$ の補空間 $W^1$

を各々一つ取って固定し、 $V^0,V^1,W^0,W^1$ の基底も各々一組取って固定しておく。
$\mathbb{C}^n$ の基底として、上述の $V^0$ の基底と $V^1$ の基底を合併したもの、 $\mathbb{C}^m$ の基底として $W^0$ の基底と $W^1$ の基底を合併したものを取る。 $\mathbb{C}^m$ および $\mathbb{C}^n$ における、標準基底からこれらの基底への変換行列を $S_0,T_0$ とおけば
$S_0 AT_0^{-1}=\left(\begin{array}A_{11} & O\\O & O\end{array}\right)$ ( $A_{11}$ は $r$ 次正則行列)
と表せる。何となれば、 $V^0,W^0$ の各々の基底変換を引き起こす基底変換行列
$S_1:\mathbb{C}^m\to\mathbb{C}^m,T_1:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^n$
を施して $S=S_1 S_0,T=T_0^{-1}T_1^{-1}$ と書きなおせば
$SAT=\left(\begin{array}E_r & O\\O & O\end{array}\right)$ … (i)
と表すことができる。

さて、線型写像 $A^-:\mathbb{C}^m\to\mathbb{C}^n$ が
$\mathbf{y}=A\mathbf{x}$ ならば $\mathbf{y}=A(A^- \mathbf{y})$
を満たすものとする。これは
$AA^- A=A$ … (ii)
が成り立つことと同値であるが、 $A$ を (i) のように変形したとき
$A^- =T\left(\begin{array}E_r & D_2\\D_3 & D_4\end{array}\right)S$ … (iii)
( $D_2$ は $r\times(m-r)$ 、 $D_3$ は $(n-r)\times r$ 、 $D_4$ は $(n-r)\times(m-r)$ の任意の行列)
とおけば (ii) が成り立つ。この $A^-$ を A の一般逆行列という。

今、補空間 $V^0$ を取り直して S の代わりに
$\left(\begin{array}E_r & -D_2\\O & E_{m-r}\end{array}\right)S$
を、同じく $W^1$ を取り直して T の代わりに
$T\left(\begin{array}E_r & O\\-D_3 & E_{n-r}\end{array}\right)$
を取っても (i) の形は変わることなく
$A^- =T\left(\begin{array}E_r & O\\O & D_4'\end{array}\right)S$ ( $D_4'=D_4-D_3 D_2$ ) … (iii)'
と書きなおすことができる。したがって、一般逆行列の自由度は

${\rm Im}A$ の補空間の取り方
${\rm Ker}A$ の補空間の取り方
線型写像 $D_4':W^1\to V^1$ の取り方

の分だけ存在することになる。

逆に (ii) を満たす $A^-$ があるとき
$V^0={\rm Im}A^- A,W^1={\rm Ker}AA^-$
とおけば $A^-$ は (iii)' の形に表される。また (ii) から明らかに
$(A^- A)^2 = A^- A,(AA^-)^2=AA^-$
であるから、 $A^- A$ は $\mathbb{C}^n$ における $V^0$ への射影であり、 $AA^-$ は $\mathbb{C}^m$ における $W^1$ への射影となる。
${\rm rank}A^- A={\rm rank}AA^-={\rm rank}A$
も明らか。

なお、n = m かつ A が正則のときに限り $A^-$ は一意に定まり、それは明らかに $A^-=A^{-1}$ である。