有限次元ベクトル空間の部分空間に対する補空間の取り方の自由度(続き)

V , W は前述のとおりとする。

もう一つの考え方として、W の補空間 W' の基底
$\langle\mathbf{v}_{r+1},\dots,\mathbf{v}_n\rangle$
を一つ固定するとき、商空間 V/W の基底は
$\langle\mathbf{v}_{r+1}+W,\dots,\mathbf{v}_n+W\rangle$
と書ける。このとき、各 $\mathbf{v}_i+W$ の代表元の取り方によって W の補空間が決まる。その選び方の自由度は $W^{n-r}=W\times\dots\times W$ (W の (n - r) 個の直積)だけあるから、これが補空間の取り方の自由度に他ならない。