Young 図形と対称群の表現(その 5・最終回)

さて、有限群 G の表現 $(\pi,V)$ が与えられたとき、G×G-準同型
$\pi:K[G]\to{\rm End}_K V$
が与えられるわけですが、言うまでもなく $\pi(G)\subset GL(V)$ ですから、 ${\rm Im}\pi\neq\{0\}$ です。従って、V が既約であれば前回の結論から ${\rm End}_K V$ も既約なので ${\rm Im}\pi={\rm End}_K V$ 、すなわち $\pi$ は全射です。従ってマシュケの定理により、K[G] は ${\rm End}_K V\stackrel{\sim}{=}K[G]/{\rm Ker}\pi$ に同型な部分空間 W を含みます。これを ${\rm End}_K V$ と同一視すると
$K[G]={\rm Ker}\pi\oplus{\rm End}_K V$
と直和分解できます。ここで、 ${\rm Ker}\pi$ はもちろん、 ${\rm End}_K V$ も K[G] の両側からの作用で閉じている、いわゆる両側イデアルですから、これは環の直和分解ともみなせます。
このようなことを、G の(同値でない)既約表現全体に対して行いたいわけですが、実はそれは可能で、
$V_1,V_2,\ldots,V_k$
を、互いに同値でない既約表現(の代表元みたいなもの)の全体とするとき、環として
$K[G]={\rm End}_K V_1\oplus{\rm End}_K V_2\oplus\cdots\oplus{\rm End}_K V_k$
と直和分解するのです ! この証明はやや長いので、「加群十話―代数学入門 (すうがくぶっくす)」にお任せすることにします。さて、この両辺の K 上ベクトル空間としての次元を比較すると
$|G|=\sum\limits_{i=1}^k(\dim_K V_i)^2$
なる等式が得られます。これは、最初に紹介した
$n!=\sum\limits_{\lambda\in Y_n}{d_\lambda}^2$
とますます似通っています。

実は同じもの

$|G|=\sum\limits_{i=1}^k(\dim_K V_i)^2$
と
$n!=\sum\limits_{\lambda\in Y_n}{d_\lambda}^2$
は似ている、と言う話をしましたが、実はこの両式は、全く同じ意味を持っているのです ! もちろんここでは証明できませんが、n 次の Young 図形のそれぞれに対応して、対称群 $S_n$ の既約表現が一つ決まり、その表現の次元は基となる Young 図形において可能な標準盤の個数に一致する、ということが知られているのです。このことを言いたいがために、今まで一般論をグダグダとやってきたわけです。
例えば n = 3 で考えるとすぐにわかることとして、 $S_3$ の既約表現は、互いに同値でない 1 次の既約表現が二つと、2 次の既約表現が一つある、ということがわかります。実際、3 次の Young 図形は三通りあり、
$\unitlength{1}\picture(120){(45,15;30,0;2){\line(0,90)}(45,15;0,30;4){\line(30,0)}}$
に対応する標準盤は
$\unitlength{1}\picture(120){(45,15;30,0;2){\line(0,90)}(45,15;0,30;4){\line(30,0)}(58,85){\fs{+1}{1}}(58,55){\fs{+1}{2}}(58,25){\fs{+1}{3}}}$
の 1 個、
$\unitlength{1}\picture(90){(15,15;30,0;2){\line(0,60)}(75,45){\line(0,30)}(15,45;0,30;2){\line(60,0)}(15,15){\line(30,0)}$
に対応する標準盤は
$\unitlength{1}\picture(90){(15,15;30,0;2){\line(0,60)}(75,45){\line(0,30)}(15,45;0,30;2){\line(60,0)}(15,15){\line(30,0)}(28,55){\fs{+1}{1}}(28,25){\fs{+1}{2}}(58,55){\fs{+1}{3}}},\unitlength{1}\picture(90){(15,15;30,0;2){\line(0,60)}(75,45){\line(0,30)}(15,45;0,30;2){\line(60,0)}(15,15){\line(30,0)}(28,55){\fs{+1}{1}}(58,55){\fs{+1}{2}}(28,25){\fs{+1}{3}}}$
の 2 個、
$\unitlength{1}\picture(120){(15,45;0,30;2){\line(90,0)}(15,45;30,0;4){\line(0,30)}}$
に対応する標準盤は
$\unitlength{1}\picture(120){(15,45;0,30;2){\line(90,0)}(15,45;30,0;4){\line(0,30)}(28,55){\fs{+1}{1}}(58,55){\fs{+1}{2}}(88,55){\fs{+1}{3}}}$
の 1 個ですから、 $3!=1^2+2^2+1^2$ で辻褄が合います。
このあたりのことをもう少し知りたい人には