Young 図形と対称群の表現(その 4)

数学・代数

さて、話の続きです。
群環 K[G] は環ですから、当然加群として (K[G],K[G])-両側加群とみなせます。つまり、G の元が左からも右からも作用します。この右からの作用を左からの作用と思うために (x,y)\in G\times G,\alpha\in K[G] に対して
(x,y)\alpha=x\alpha y^{-1}
と定めると、K[G] は G×G-加群になります。
G の表現 (\pi,V) には環準同型
\pi:K[G]\to{\rm End}_K V
が対応していました。従って f\in{\rm End}_K V に対し
(x,y)f=\pi(x)f\pi(y^{-1})
と定めれば、{\rm End}_K V も G×G-加群になり、なおかつ (x,y)\in G\times G,\alpha\in K[G] に対して
\begin{align}\pi((x,y)\alpha)&=\pi(x\alpha y^{-1})\\&=\pi(x)\pi(\alpha)\pi(y^{-1})\\&=(x,y)\pi(\alpha)\end{align}
なので、\pi は G×G-準同型となります。
ここで大事なことは

V が既約な G-加群ならば {\rm End}_K V も既約 G×G-加群になる

と言うことです。そのための予備知識として、G-加群 V と H-加群 W に対して
{\rm End}_{G\times H}({\rm Hom}_K(V,W))\stackrel{\sim}{=}{\rm Hom}_K({\rm End}_G V,{\rm End}_H W)
が成り立つことを知っておく必要があります。前に紹介したテンソル積の概念をうまく使うと証明できますが、テンソル積を使わない証明が「加群十話―代数学入門 (すうがくぶっくす)」に付録として載っていますので、興味のある方はそちらを参照してください。
この事実において H = G , W = V とおけば
{\rm End}_{G\times G}({\rm End}_K V)\stackrel{\sim}{=}{\rm End}_K({\rm End}_G V)
となり、V が既約な G-加群のとき {\rm End}_G V\stackrel{\sim}{=}K でしたから
{\rm End}_{G\times G}({\rm End}_K V)\stackrel{\sim}{=}{\rm End}_K({\rm End}_G V)\stackrel{\sim}{=}{\rm End}_K K\stackrel{\sim}{=}K
となり、{\rm End}_K V も既約 G×G-加群になることがわかりました。(続く)