テンソル積と準同型加群 - Red cat の数学よもやま話

今回はちょっと本題からそれます。*1
右 R-加群 M と左 R 加群 N を考えます。このとき、 $M\times N$ を単なる集合と思って、 $M\times N$ の元を基底とする R-自由空間を考えます。これを F で表すことにします。そして F の中で

$(m_1+m_2,n)-(m_1,n)-(m_2,n)$ (ただし $m_1,m_2\in M,n\in N$ )
$(m,n_1+n_2)-(m,n_1)-(m,n_2)$ (ただし $m\in M,n_1,n_2\in N$ )
$(mr,n)-(m,rn)$ (ただし $m\in M,n\in N,r\in R$ )

の形の元全体で生成される部分加群を考えます。これを A とするとき、剰余加群 F/A のことを M と N のテンソル積と言い、 $M\otimes_R N$ (あるいは単に $M\otimes N$ )と書きます。
次に、M と N を共に左 R-加群とするとき
${\rm Hom}_R(M,N)=\\\{f:M\to N|f(r_1m_1+r_2m_2)=r_1f(m_1)+r_2f(m_2)\}$
(ただし $m_1,m_2\in M,r_1,r_2\in R$ )
のことを M から N への準同型加群と言います。さて、この ${\rm Hom}_R(M,N)$ について、N がもし (R,S)-両側加群ならば $(f\cdot s)(m)=f(m)s$ と定義することで ${\rm Hom}_R(M,N)$ は右 S-加群になります。特に R は (R,R)-両側加群とみなせるので $M^*={\rm Hom}_R(M,R)$ は右 R-加群になりますから、左 R-加群とのテンソル積 $M^* \otimes_R N$ が定義できます。
このとき準同型
$\theta:M^* \otimes_R N\ni\varphi\otimes n\to(\varphi(\cdot)n:m\to\varphi(m)n)\in {\rm Hom}_R(M,N)$
が一意的に定まり、さらに R が可換ならば $\theta$ は R-線型に、そして M または N が有限基底を持つならば、 $\theta$ は同型(!!)になります。
テンソル積や準同型加群については、まだまだ重要な性質がたくさんありますが、それらの性質やその証明は市販の参考書に譲ることにします。

*1:とは言っても、実は本題を進めるために必要が生じたので書いているのです orz