Young 図形と対称群の表現(その 3) - Red cat の数学よもやま話

以下、断らない限り K は標数 0 の代数閉体とします。*1

既約性判定

Schur の補題によって、既約な G-加群 V に対して ${\rm End}_G V\stackrel{\sim}{=}K$ であることがわかりました。ところが、実はこの逆も成り立ちます。以下、その証明をしましょう。
G-加群 V に対して、マシュケの定理により、同型なものを同一視して
$V={W_1}^{m_1}\oplus\cdots\oplus{W_r}^{m_r}$
と直和分解が出来ます。ここで各 $W_i$ は既約で $i\neq j\Rightarrow W_i\not{\stackrel{\sim}{=}}W_j$ です。このとき $m_i=(W_i:V)$ と書いて、V における $W_i$ の重複度と言います。
このとき ${\rm Hom}_G(W_i,V)$ はベクトル空間として $K^{m_i}$ に同型になります。何となれば Schur の補題によって
$i\neq j\Rightarrow{\rm Hom}_G(W_i,W_j)=\{0\}$
なので
$\begin{align}{\rm Hom}_G(W_i,V)&={\rm Hom}_G(W_i,{W_1}^{m_1}\oplus\cdots\oplus{W_r}^{m_r})\\&={\rm Hom}_G(W_i,{W_1})^{m_1}\oplus\cdots\oplus{\rm Hom}_G(W_i,{W_r})^{m_r}\\&={\rm Hom}_G(W_i,W_i)^{m_i}\stackrel{\sim}{=}K^{m_i}.\end{align}$
同様に ${\rm Hom}_G(V,W_i)\stackrel{\sim}{=}K^{m_i}$ もわかります。
さて
$\begin{align}{\rm End}_G V&={\rm Hom}_G(V,V)\\&={\rm Hom}_G({W_1}^{m_1}\oplus\cdots\oplus{W_r}^{m_r},V)\\&={\rm Hom}_G(W_1,V)^{m_1}\oplus\cdots\oplus{\rm Hom}_G(W_r,V)^{m_r}\end{align}$
ですから、先の事実により、右辺の K 上ベクトル空間としての次元は ${m_1}^2+\cdots+{m_r}^2$ です。一方で、もし ${\rm End}_G V\stackrel{\sim}{=}K$ ならば左辺の次元は 1 ですから、
${m_1}^2+\cdots+{m_r}^2=1$
が成り立たなければならず、このとき $m_i=1,m_j=0(j\neq i)$ を満たすような i が存在します。従って $V\stackrel{\sim}{=}W_i$ (既約)となり、V が既約 G-加群であることが示されます。

どことなく似ている ?

さて、群環 K[G] の正則表現 $\rho:K[G]\to {\rm End}(K[G])$ から導かれる G の表現 $\pi:G\to GL(K[G])$ を考えます。
K[G] は言うまでもなく G-加群でもあります。そこで G が有限群のときマシュケの定理によって
$K[G]={V_1}^{m_1}\oplus\cdots\oplus{V_r}^{m_r}$
と直和分解できたならば、上の議論により K 上の次元を比較して
$|G|={m_1}^2+\cdots+{m_r}^2$
という等式が導き出されます。ところで対称群 $S_n$ の位数は n ! でしたから、 $G=S_n$ とすれば
$n!=\sum\limits_{i=1}^r{m_i}^2$
なる等式が現れます。最初に紹介した式と、どことなく似ていますね。(続く)

*1:標数を 0 にするのは、G の位数と関わりなくマシュケの定理を使いたいからです。