一階線型微分方程式を定数変化法を使わずに解く

d:id:rena_descarte:20060219 から。

次の微分方程式の一般解を求めよ。

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ (但し、P(x) , Q(x) は x の関数である)

条件：定数変化法を用いないこと

これは
$(P(x)y-Q(x))dx+dy=0$
として $\mathcal{P}(x,y)=P(x)y-Q(x),\mathcal{Q}(x,y)=1$ とおけば
$\mathcal{P}_y=\frac{\partial\mathcal{P}}{\partial y}=P(x),\mathcal{Q}_x=\frac{\partial\mathcal{Q}}{\partial x}=0$
なので、 $\frac{\mathcal{P}_y-\mathcal{Q}_x}{\mathcal{Q}}=P(x)$ は x のみの関数です。そこで両辺に
$M(x)=\exp(\int P(x)dx)$
を掛けて
$M(x)(P(x)y-Q(x))dx+M(x)dy=0$
とすれば完全微分形になります。あとは
$F_x=M(x)(P(x)y-Q(x)),F_y=M(x)$
となる F を見つければよく、
$\begin{align}F(x,y)&=-\int M(x)Q(x)dx+M(x)y\\&=-\int Q(x)\left(\exp(\int P(x)dx)\right)dx+y\exp(\int P(x)dx)\end{align}$
とおけばそれは満たされ、一般解は $F(x,y)=c$ (c は定数)です。従って後は y について整理すると
$y=\exp(-\int P(x)dx)\left\{\int Q(x)\left(\exp(\int P(x)dx)\right)dx+c\right\}$
となり、微分方程式の教科書に大抵載っている公式と一致します。