有限群 G が与えられると、その正則表現 が作れます。これは単射(ただし一般には既約でない)です。
私が最近そこはかとなく考えていることは、有限半群 S に対して、適当な係数環 R をとったときに、同じように単射 が作れるのではないか、ということです。そしてこの n は、高々 S の位数で抑えられるのではないか、とも考えています。
以前、位数 2 の半群に対しては、そのことを実証して見せたわけですが、とりあえず、手元に分類表がある位数 3 , 4 の半群に関してそのような単射が作れれば、何か法則が見えてくるんではないかなぁ、と思ってます。
それだけでは面白くないので、係数環を変えたときに、表現の次数がどう変わるのかも見てみたいと思っています。例えば 4 次の巡回群は、複素数を用いれば
と表せますが、実数までしか許されないとなると話が変わって
となって、表現の次数を 2 に引き上げなければなりません。同じようなことは、当然半群でも起こり得ます。
