Noether 的付値環が DVR となることの証明(その 4・最終回)

以上で準備が整ったので、本定理の証明に入る。
R を Noether 的付値環とする。このとき、任意のイデアル
$J=a_1 R+\dots+a_n R$
は、ある $a_i R$ に一致する。したがって、R は PID である。

R の極大イデアルを I = tR とする。
一般に、Krull の共通部分定理において

R が Noether 整域で、I が真のイデアル
R が Noether 的局所環で、I がその極大イデアル

の場合には $I^*=\{0\}$ が成り立つ。本ケースはこれに当てはまるので
$I^*=\bigcap_{n=1}^\infty t^n R=\{0\}$
となる。したがって、任意の $x\neq 0$ に対して
$x\in t^\nu R,x\not\in t^{\nu+1}R$
となる非負整数 $\nu$ が一意に決まる。 $x=0$ に対してはこのような非負整数 $\nu$ は存在しないが、便宜上 $\nu=\infty$ とし、 $v:R\to\mathbb{Z}\cup\{\infty\}$ を $v(x)=\nu$ で定める。このとき $v(xy)=v(x)+v(y),v(x+y)\geq\min\{v(x),v(y)\}$ が成り立つことは容易に証明できる。

K を R の商体とするとき、 $a/b=s/t$ ならば
$v(a)-v(b)=v(s)-v(t)$
が成り立つので、 $x\in K,x\neq 0$ に対して $x=a/b$ と表されるときに $v(x)=v(a)-v(b)$ で定義すれば、v は well-defined に K 上に拡張される。このとき v は K の付値で、その値群は明らかに $\mathbb{Z}$ であるから、R は DVR となる。

同値性

一方で、DVR は PID(principal ideal domain , 単項イデアル整域)となることが、以下のように証明できる。

R を付値環とする K の付値を、値群が $\mathbb{Z}$ となるよう正規化し、これを $v_R$ で表す。このとき、極大イデアル I の元 t で $v_R(t)=1$ となるものが存在する。今、任意の $x\in I,x\neq 0$ に対して $v_R(x)$ は正整数なので、それを $n$ とすれば $v_R(x/t^n)=0$ であるから $a=x/t^n\in U(R)$ である。したがって $x = at^n,a\in U(R)$ と書ける。特に I = tR である。

J を R の任意のイデアルとするとき
$\{v_R(x)|x\in J,x\neq 0\}$
は非負整数の集合であるから最小値が存在するので、それを n とする。もし n = 0 ならば J は単元を含むから J = R となる。そうでないとき、 $v_R(y)=n$ を満たす元を一つ選ぶと、任意の $z\in J$ に対して $v_R(z/y)\geq 0$ であるから、J = yR であるが、上記事実により $y=bt^n,b\in U(R)$ と表せるから特に $J=t^n R$ である。したがって R は PID で、特にそのイデアルは $t^n R = I^n$ の形のものに限る。