実 Jordan 標準形の計算方法 - Red cat の数学よもやま話

これまでの議論の中で、K が代数閉体であることが本質だったのは
${\rm ord}(M)=(g),g\neq 0\Rightarrow l(M)=\deg g$
の部分だけです。これをもし $\mathbb{R}$ [t]-加群などで考えたらどうなるでしょう。このとき $\mathbb{R}$ [t]-単純加群は $\mathbb{R}$ 上の次元が 1 のものと 2 のものの二種類が存在します。従って、 $\mathbb{R}$ [t]-加群 M に対して ${\rm ord}(M)=(g),\deg g=n$ であっても、g が次元が 1 の因子を(重複度も込めて) p( $\neq$ 0) 個、次元が 2 の因子を q 個持っていたならば $l(M)=p+q\neq n$ となってしまいます。
しかし、幸いなことに R = $\mathbb{R}$ [t] として完全列
$0\longrightarrow R^n\longrightarrow^\psi R^n\longrightarrow^\varphi \mathbb{R}^n\longrightarrow 0$
を同じように作ったときに同じようにして $\dim_{\mathbb{R}}R^n/{\rm Im}\psi=p+2q=n$ となります。従って、実 Jordan 標準形も通常の場合とほとんど同じ方法で計算できるのです。