群の表現と行列の Jordan 標準形(その 5)

数学・代数

ここまでのまとめ

ここまで、随分と小難しい話をしてきましたが、まとめると、有限群 G に対して、標数 0 の体 K 上有限次元の G 加群 V(すなわち、G の有限次数の表現)が与えられたとき、それは既約 G 加群の直和
V=W_1\oplus W_2\oplus\cdots\oplus W_r
として書ける、ということでした。行列で表せば、表現 (\pi,V) の行列表示が
\pi(x)=\begin{pmatrix}\pi_{W_1}(x)&&0\\&\ddots&\\0&&\pi_{W_r}(x)\end{pmatrix}
の形になると言うことです。この形を、よく覚えておいてください。

半群環 K[\mathbb{N}_0] と多項式環

さて、単位半群に対しては群環と似たような構成法で半群環というものが構成できました。今、
\mathbb{N}_0=\{0,1,2,\ldots\}
は加法を算法として、0 を単位元とする半群になっていますから、半群環 K[\mathbb{N}_0] が構成できます。その積は
[i][j]=[i+j]
を基に構成されます。すると、[i]\to t^i なる対応を線型に拡張することで、半群環 K[\mathbb{N}_0] から K 係数多項式環 K[t] への環としての同型が定まります。
群環の表現と同様にして、半群環 K[\mathbb{N}_0] の表現
\rho:K[\mathbb{N}_0]\to{\rm End}_K(V)
が定義できますが、K[\mathbb{N}_0] と K[t] を同一視すれば
\rho:K[t]\to{\rm End}_K(V)
となります。すなわち、半群 \mathbb{N}_0 の表現論は多項式環 K[t] の表現論、言い換えれば K[t]-加群 V の構造を調べることに帰着されます。

線型写像と K[t]-加群

n 次正方行列による線型写像 T:K^n\to K^n が与えられているとしましょう。このとき \rho:K[t]\to M_n(K) を
\rho(f(t))=f(T)\in M_n(K)
で定めることにより、K^n は K[t]-加群とみなすことが出来ます。逆に \rho:K[t]\to M_n(K) が先に与えられれば
T=\rho(t)\in M_n(K)
は線型写像 T:K^n\to K^n を与えます。ここで、T によって生成される M_n(K) の部分環 K[T] と K[t] との同一視が暗黙のうちに行われているわけです。(続く)