Riemann の zeta 関数(その 2)

数学・解析

ベルヌーイ数と \zeta(2k)

f(z)=\frac{z}{e^z-1} は |z|<2\pi で正則な関数なので、この範囲で Taylor 展開できます。それを
f(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{b_n}{n!}z^n
としておきます。
f(z)\frac{e^z-1}{z}=1
かつ
\frac{e^z-1}{z}=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{(n+1)!}
であることから、各 b_n を求めることが出来ます。その一方で
\frac{z}{e^z-1}+\frac{z}{2}=\frac{z}{2}\frac{e^z+1}{e^z-1}=\frac{z}{2}\coth\frac{z}{2}
は偶関数なので、b_{2n+1}=0(\forall n\geq 1) が成り立ちます。以下 b_{2n}=(-1)^{n-1}B_n とおくと
\frac{z}{e^z-1}=1-\frac{z}{2}-\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n B_n}{(2n)!}z^{2n}\quad(|z|<2\pi)
となることが分かります。この B_n をベルヌーイ(Bernoulli)数と言い、
B_1=\frac16,B_2=\frac{1}{30},B_3=\frac{1}{42},B_4=\frac{1}{30},\\B_5=\frac{5}{66},B_6=\frac{691}{2730},\dots
となることが知られています。
\frac{z}{2}\cot\frac{z}{2}=\frac{iz}{2}\frac{e^{iz}+1}{e^{iz}-1}=f(iz)+\frac{iz}{2}
なので z\cot z=f(2iz)+iz ですから
z\cot z=1-\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}B_n}{(2n)!}z^{2n}\quad(|z|<\pi)
が得られます。これを変形して
\pi\cot\pi z=\frac1z-\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}\pi^{2n}B_n}{(2n)!}z^{2n-1}\quad(0<|z|<1)
となります。一方で、\mathbb{C}-\mathbb{Z} で広義一様収束する部分分数展開
\pi\cot\pi z=\frac1z+\sum_{n=1}^\infty\frac{2z}{z^2-n^2}
が知られていますので両者を比較して
\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}\pi^{2n}B_n}{(2n)!}z^{2n-1}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2z}{n^2-z^2}\quad(|z|<1) … (*)
を得ます。|z|<1 のとき
\frac{2z}{n^2-z^2}=\frac{2z}{n^2}\frac{1}{1-\left(\frac{z}{n}\right)^2}=\frac{2z}{n^2}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{z}{n}\right)^{2k}=2\sum_{k=1}^\infty\frac{z^{2k-1}}{n^{2k}}
故、二重級数定理により
\sum_{n=1}^\infty\frac{2z}{z^2-n^2}=2\sum_{k=1}^\infty\zeta(2k)z^{2k-1}
です。よって (*) で同じ次数の係数を比較すれば
\zeta(2k)=\frac{2^{2k-1}B_k}{(2k)!}\pi^{2k}
が求められます。実際
\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6},\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90},\zeta(6)=\frac{\pi^6}{945},\zeta(8)=\frac{\pi^8}{9450},\\\zeta(10)=\frac{\pi^{10}}{93555},\zeta(12)=\frac{691}{3^6\cdot 5^3\cdot 7^2\cdot 11\cdot 13}\pi^{12},\dots
です。