Riemann の zeta 関数(その 1)

数学・解析

今回は、圏論をちょっとお休みして、Riemann の zeta 関数のお話をしたいと思います。Riemann の zeta 関数とは
\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s}
で定義され、これは s=\sigma+it と表すとき、\sigma>1 で収束し、正則関数となります。

\zeta(s) と素数の関係

p を素数とします。我々は |x|<1 のとき
\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k
という級数展開が出来ることを知っている*1わけですが、ここに x=\frac{1}{p^s} を代入すると
\begin{align}|x|&=|p^{-s}|\\&=p^{-\sigma}|p^{-it}|\\&=p^{-\sigma}|e^{-it\log p}|\\&=p^{-\sigma}<1\quad(\sigma\geq 1)\end{align}
なので
\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1}=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{p^{sk}}\quad(\sigma\geq 1)
という式を得ることが出来ます。これと素因数分解の一意性を用いると、
\zeta(s)=\prod_p\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1}(ただし、p は全ての素数を動く)
という無限積での表現を得ることが出来ます。
ときに、
\zeta(1)=\sum_{n=1}^\infty\frac1n
は \infty に発散しますが、このことから
\infty=\prod_p\left(1-\frac1p\right)^{-1}
で、0\leq x\leq\frac12 のとき \frac{1}{1-x}\leq 4^x が成り立つので
\infty=\prod_p\left(1-\frac1p\right)^{-1}\leq\prod_p 4^{\frac1p}=4^{\frac12+\frac13+\frac15+\frac17+\dots}
が成り立ちます。このことから
\sum_p\frac1p=\frac12+\frac13+\frac15+\frac17+\dots=\infty,
すなわち、素数の逆数和が無限大に発散することが示せます。
この他にも、\zeta(s) と素数には様々な、しかも密接な関係があるのですが、今回は深入りしないことにします。

*1:知らない人は勉強してね !