圏論への誘い(その 8) - Red cat の数学よもやま話

ファイバー積と双対ファイバー積

対象 $a_1,a_2,b$ と、射 $f_i:a_i\to b(i=1,2)$ に対し、 $a_1\stackrel{f_1}{\rightarrow}b\stackrel{f_2}{\leftarrow}a_2$ のファイバー積(fiber product)とは、 $c\stackrel{g_i}{\to}a_i(i=1,2)$ で、以下の性質を満たすもののことを言います。

$f_1\circ g_1=f_2\circ g_2$
$d\stackrel{h_i}{\to}a_i(i=1,2)$ で $f_1\circ h_1=f_2\circ h_2$ を満たすものが存在するならば、 $d\stackrel{k}{\to}c$ で $h_i=g_i\circ k(i=1,2)$ を満たすものが一意に存在する

このとき、上図の正方形の図式を引き戻し(pullback)と言います。
同様に、対象 $a_1,a_2,b$ と、射 $f_i:b\to a_i(i=1,2)$ に対し、 $a_1\stackrel{f_1}{\leftarrow}b\stackrel{f_2}{\rightarrow}a_2$ の双対ファイバー積(cofiber product)とは、 $a_i\stackrel{g_i}{\to}c(i=1,2)$ で、以下の性質を満たすもののことを言います。

$g_1\circ f_1=g_2\circ f_2$
$a_i\stackrel{h_i}{\to}d(i=1,2)$ で $h_1\circ f_1=h_2\circ f_2$ を満たすものが存在するならば、 $c\stackrel{k}{\to}d$ で $h_i=k\circ g_i(i=1,2)$ を満たすものが一意に存在する

このとき、上図の正方形の図式を押し出し(pushout)と言います。

コンマ圏とファイバー積

圏 $\mathcal{C}$ の対象 s を固定します。このとき、圏 $\mathcal{C}$ の対象 a と、射 $a\stackrel{f}{\to}s$ の組を新たな対象とし、また $[a\stackrel{f}{\to}s]$ から $[b\stackrel{g}{\to}s]$ への射の集合を、 $a\stackrel{h}{\to}b$ で $f=g\circ h$ を満たすものの全体とすることによって、新しい圏を作ることが出来ます。これを $\mathcal{C}/s$ で表し、コンマ圏と言います。このとき、 $a_1\stackrel{f_1}{\rightarrow}b\stackrel{f_2}{\leftarrow}a_2$ のファイバー積とは、コンマ圏 $\mathcal{C}/b$ における　 $[a_1\stackrel{f_1}{\to}b]$ と $[a_2\stackrel{f_2}{\to}b]$ の直積に他ならないことが確かめられます。