三角関数を積分を用いて定義する(その 1)

今、y を任意の実数として、y の関数 $x=f_0(y)$ を
$f_0(y)=\int_0^y\frac{dt}{1+t^2}$
で定義します。このとき
$\int_0^\infty\frac{dt}{1+t^2}$
は有限の値に収束します。なぜならば
$\int_0^\infty\frac{dt}{1+t^2}=\int_0^1\frac{dt}{1+t^2}+\int_1^\infty\frac{dt}{1+t^2}<\int_0^1\frac{dt}{1+t^2}+\int_1^\infty\frac{dt}{t^2}$
だから。そこでこの値を仮に a としておけば
$\int_0^{-\infty}\frac{dt}{1+t^2}=-a$
もわかります。また
$\frac{df}{dy}=\frac{1}{1+y^2}>0$
なので、この関数は y に関して単調増加です。従ってこれは $\mathbb{R}=(-\infty,\infty)$ から $(-a,a)$ への全単射であり、その逆写像が定義できます。これを $y=g_0(x)$ としておきます。
今、 $x,x_0\in(-a,a)$ に対して、 $f_0(y)=x,f_0(y_0)=x_0$ を満たす $y,y_0\in\mathbb{R}$ は $x,x_0$ に対して一意に定まります。そして積分の平均値の定理により
$|x-x_0|=\frac{|y-y_0|}{1+\alpha^2}$
を満たす $\alpha$ (ただし $\alpha$ は $y$ と $y_0$ の間の実数)が存在しますから、関数 $g_0(x)$ は任意の $x_0\in(-a,a)$ で連続、従って逆関数の定理により、 $g_0(x)$ は $C^1$ 級の関数になります。
同様に、整数 n に対して
$f_n(y)=2na+\int_0^y\frac{dt}{1+t^2}$
とおくと、これは $\mathbb{R}$ から $((2n-1)a,(2n+1)a)$ への全単射であり、同じように $C^1$ 級の逆関数 $g_n(x)$ が定義できます。ここで $x\in((2n-1)a,(2n+1)a)$ に対して
$x=2na+\int_0^{g_n(x)}\frac{dt}{1+t^2}$
ですから
$x-2na=\int_0^{g_n(x)}\frac{dt}{1+t^2}$
となり、容易に $g_n(x)=g_0(x-2na)$ が示されます。従って、 $x\neq (2n-1)a(n\in\mathbb{Z})$ なる実数 x に対して、周期が 2a の関数 $g(x)$ を定義することができ、
$\lim\limits_{x\to(2n-1)a-0}g(x)=+\infty,\lim\limits_{x\to(2n-1)a+0}g(x)=-\infty$
がわかります。この $g(x)$ を $\tan x$ と定義します。(続く)