Hom の左完全性の逆について(その 3) - Red cat の数学よもやま話

前回の続きです。

(定理 2 の証明続き)
十分性について
(i) $g$ が全射であること
$N=M''/{\rm Im}(g)$ とおき、自然な準同型 $\pi:M\to N$ を考える。このとき
$g^*(\pi)=\pi\circ g=0$
である。 $g^*$ は単射だから、これより $\pi=0$ となり、 $M''/{\rm Im}(g)=0$ 、すなわち ${\rm Im}(g)=M''$ を得る。
(ii) ${\rm Im}(f)\subset{\rm Ker}(g)$ であること
任意の $h\in{\rm Hom}_R(M'',N)$ に対して
$h\circ g\circ f=f^*\circ g^*(h)=0$
である。よって特に $N=M'',h={\rm id}_{M''}$ とおけば $g\circ f=0$ を得る。
(iii) ${\rm Im}(f)\supset{\rm Ker}(g)$ であること
$N=M/{\rm Im}(f)$ とおき、自然な準同型 $\pi:M\to N$ を考える。このとき
$f^*(\pi)=\pi\circ f=0$
だから $\pi\in{\rm Ker}(f^*)={\rm Im}(g^*)$ 。よって
$\varpi\circ g=\pi$
を満たす $\varpi\in{\rm Hom}_R(M'',N)$ が存在する。したがって
${\rm Ker}(g)\subset{\rm Ker}(\pi)={\rm Im}(f)$
を得る。