Hom の左完全性の逆について(その 2) - Red cat の数学よもやま話

さて、Hom の左完全性にはもう一つの形があります。

定理 2

左 R - 加群 M , M ' , M '' と準同型
$f:M'\to M,g:M\to M''$
が与えられたとき、
$M'\stackrel{f}{\to}M\stackrel{g}{\to}M''\to 0$
が完全となるための必要十分条件は、任意の左 R - 加群 N に対して
$0\to{\rm Hom}_R(M'',N)\stackrel{g^*}{\to}{\rm Hom}_R(M,N)\stackrel{f^*}{\to}{\rm Hom}_R(M',N)$
が完全となることである。

(証明)
必要性について
(i) $g^*$ が単射であること
$g^*(h'')=0(h''\in{\rm Hom}_R(M'',N))$ とする。このとき
$h''\circ g(m)=0(\forall m\in M)$ … (*)
である。 $g$ は全射であるから、任意の $m''\in M''$ に対して $g(m)=m''$ となる $m\in M$ が存在するので、(*) から
$h''(m'')=0(\forall m''\in M'')$ 、
すなわち $h''=0$ が導かれる。したがって ${\rm Ker}(g^*)=0$ だから、 $g^*$ は単射。
(ii) ${\rm Im}(g^*)\subset{\rm Ker}(f^*)$ であること
$g\circ f=0$ 故 $f^*\circ g^*=(g\circ f)^*=0$ 。
(iii) ${\rm Im}(g^*)\supset{\rm Ker}(f^*)$ であること
$f^*(h)=0(h\in{\rm Hom}_R(M,N))$ とする。今、 $g$ は全射であるから、任意の $m''\in M''$ に対して $g(m)=m''$ となる $m\in M$ が存在するので、これを利用して $h''\in{\rm Hom}_R(M'',N)$ を
$h''(m'')=h(m)$
で定義する。もし $g(m_0)=m''$ を満たす別の $m_0\in M$ を選んでも、このとき $g(m-m_0)=0$ であるから $f(m')=m-m_0$ となる $m'\in M'$ が存在する。それゆえ
$h(m_0)=h(m-f(m'))=h(m)-h\circ f(m')=h(m)$
となり、 $h''$ は $m$ の取り方によらず一意に定まる。
$g^*(h'')(m)=h''\circ g(m)=h(m)(\forall m\in M)$
だから $h=g^*(h'')\in{\rm Im}(g^*)$ である。

十分性についてはまた後ほど。