三角関数を積分を用いて定義する(その 2)

さて、前述の $\tan x$ を用いて、新しい関数
$f(x)=\sqrt{\frac{1}{1+\tan^2x}}$
を考えてみましょう。 $x\to(2n-1)a(n\in\mathbb{Z})$ のとき $\tan^2x\to\infty$ ですから $f(x)\to 0$ です。従って
$f((2n-1)a)=0(n\in\mathbb{Z})$
とおけば、f(x) は連続にはなります。しかし、微分可能性については $x=(2n-1)a$ のところで崩れてしまいます。そこで天下りですが $m\in\mathbb{Z}$ に対して
$\bar{f}(x)=\left\{\begin{array}{cl}0&(x=(4m-1)a)\\\sqrt{\frac{1}{1+\tan^2x}}&((4m-1)a<x<(4m+1)a)\\0&(x=(4m+1)a)\\-\sqrt{\frac{1}{1+\tan^2x}}&((4m+1)a<x<(4m+3)a)\end{array}$
と定義してみます。すると $\frac{d}{dx}(\tan x)=1+\tan^2x$ を用いれば
$\bar{f}'(x)=\left\{\begin{array}{cl}-\frac{\tan x}{\sqrt{1+\tan^2x}}&((4m-1)a<x<(4m+1)a)\\\frac{\tan x}{\sqrt{1+\tan^2x}}&((4m+1)a<x<(4m+3)a)\end{array}$
となり、
$\lim\limits_{x\to(4m-1)a}\bar{f}'(x)=1,\lim\limits_{x\to(4m+1)a}\bar{f}'(x)=-1$
となって、微分可能になります。我々はこの $\bar{f}(x)$ を $\cos x$ と定義することにしましょう。(続く)