三角関数を積分を用いて定義する(その 3)

さて、前回定義した $\cos x$ について
$\frac{d}{dx}(\cos x)=\left\{\begin{array}{cl}1&(x=(4m-1)a)\\-\frac{\tan x}{\sqrt{1+\tan^2x}}&((4m-1)a<x<(4m+1)a)\\-1&(x=(4m+1)a)\\\frac{\tan x}{\sqrt{1+\tan^2x}}&((4m+1)a<x<(4m+3)a)\end{array}$
となることがわかりました。これをもう一度微分すると
$\frac{d^2}{dx^2}(\cos x)=\left\{\begin{array}{cl}0&(x=(4m-1)a)\\-\sqrt{\frac{1}{1+\tan^2x}}&((4m-1)a<x<(4m+1)a)\\0&(x=(4m+1)a)\\\sqrt{\frac{1}{1+\tan^2x}}&((4m+1)a<x<(4m+3)a)\end{array}\right\}=-\cos x$
となります。このことから、 $\cos x$ は $C^\infty$ 級の関数となることがわかります。そしていよいよ
$\sin x=\cos x\tan x=\left\{\begin{array}{cl}-1&(x=(4m-1)a)\\\frac{\tan x}{\sqrt{1+\tan^2x}}&((4m-1)a<x<(4m+1)a)\\1&(x=(4m+1)a)\\-\frac{\tan x}{\sqrt{1+\tan^2x}}&((4m+1)a<x<(4m+3)a)\end{array}$
と定義します。これで、さしあたり必要な三種類の三角関数が定義できました。 $\sin x$ も $C^\infty$ 級の関数となり、 $\sin^2x+\cos^2x=1$ などの良く知られている性質は全てこれらの定義から導くことが出来ます。(続く)