ε - δ 論法(その 11) - Red cat の数学よもやま話

久々に $\varepsilon-\delta$ 論法の続きです。

関数の極限

数列 $\{a_n\}$ の場合、 $n\to\infty$ の挙動だけが問題で、そのほかには興味がありません。しかし関数 f(x) の場合になると、x が有限の値 a に近づくときの挙動も問題になります。そこでいきなり定義から入ります。変数や値が複素数の場合については後で補足することにして、まずは変数も値も実数の場合のみ考えます。

定義 1

$\lim_{x\to a}f(x)=b$ とは、任意の $\varepsilon>0$ に対して $\delta=\delta(\varepsilon)$ が存在して
$|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon$
が成り立つことを言う。
$\lim_{x\to a}f(x)=\infty$ とは、任意の $R>0$ に対して $\delta=\delta(R)$ が存在して
$|x-a|<\delta\Rightarrow f(x)>R$
が成り立つことを言う。
$\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$ とは、任意の $R>0$ に対して $\delta=\delta(R)$ が存在して
$|x-a|<\delta\Rightarrow f(x)<-R$
が成り立つことを言う。なお、これらの定義において $|x-a|<\delta$ を $0<|x-a|<\delta$ に置き換えたものを $\lim_{x\to a,x\neq a}f(x)=b$ などと表す。

定義 2

$\lim_{x\to\infty}f(x)=b$ とは、任意の $\varepsilon>0$ に対して $S=S(\varepsilon)$ が存在して
$x>S\Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon$
が成り立つことを言う。
$\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ とは、任意の $R>0$ に対して $S=S(R)$ が存在して
$x>S\Rightarrow f(x)>R$
が成り立つことを言う。
$\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty$ とは、任意の $R>0$ に対して $S=S(R)$ が存在して
$x>S\Rightarrow f(x)<-R$
が成り立つことを言う。

$x\to -\infty$ の場合については類推は容易でしょうから省略します。

簡単な例として、定義 1 に従って $\lim_{x\to 0,x\neq 0}\frac{1}{x^2}=\infty$ を証明してみましょう。今 $R>0$ に対して $\delta=\frac{1}{\sqrt{R}}$ とおくと
$\begin{array}0<|x|<\delta&\Rightarrow&0<x^2<\frac{1}{R}\\&\Rightarrow&\frac{1}{x^2}>R\end{array}$

さて、変数 x が実数の場合、x が有限の値 a に近づく方法は

a より小さい方から a に近づく
a より大きい方から a に近づく

の二通りが考えられます。次回、その両者に関する定義(左極限、右極限)を述べることにします。