一般逆行列(その 7・最終回) - Red cat の数学よもやま話

さて、 $A:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^m$ における Moore-Penrose 形一般逆行列については、A の特異値分解
$Q_2^*AQ_1=\left(\begin{array}\Sigma_1&O\\O&O\end{array}\right)$
(ただし $\Sigma_1={\rm diag}(\sigma_1,\dots,\sigma_r),\sigma_i>0$
を用いれば、明らかに
$A^+=Q_1\left(\begin{array}\Sigma_1^{-1}&O\\O&O\end{array}\right)Q_2^*$
が Moore-Penrose 形の一般逆行列になる。このことから Moore-Penrose 形一般逆行列がほとんど一意に定まることがわかる。
Moore-Penrose 形一般逆行列の別の考え方を述べよう。
今、 $\mathbf{w}\in\mathbb{C}^m$ を固定したとき、 $||A\mathbf{v}-\mathbf{w}||$ を最小にし、かつ $||\mathbf{v}||$ を最小とするものは一意に定まる。実際、A の特異値分解を用いて問題を
$||Q_2^*AQ_1\tilde{\mathbf{v}}-\tilde{\mathbf{w}}||\to\min,||\tilde{\mathbf{v}}||\to\min$ (ただし $\tilde{\mathbf{v}}=Q_1^*\mathbf{v},\tilde{\mathbf{w}}=Q_2^*\mathbf{w}$ )
と書きなおせば明らかに
$\tilde{v}_i=\frac{\tilde{w}_i}{\sigma_i}(1\leq i\leq r),\tilde{v}_j=0(j>r)$
がその解であるから、 $\mathbf{v}=A^+\mathbf{w}$ と表せることは明らかである。これを持って $A^+$ の定義とすることも可能である。
なお、特異値分解によるこの方法は、有理演算(と開平)だけでは出来ない操作に基づいているが、Moore-Penrose 形一般逆行列の構成そのものは、最初に紹介した通り有理演算のみによって構成可能である。