S3 から S2 への連続写像 - Red cat の数学よもやま話

しばらく代数の話題が続いたので、ここで幾何の話題をお送りします。
今、三次元球面 $S^3$ を
$S^3=\{(\alpha,\beta)\in\mathbb{C}^2 \middle| |\alpha|^2+|\beta|^2=1\}$
とおいて $\mathbb{C}^2\approx\mathbb{R}^4$ の部分多様体とみなすことにします。
一方で $\mathbb{C}^2-\{(0,0)\}$ に
$(\alpha,\beta)\sim(\alpha',\beta')\Leftrightarrow\exists\gamma\in\mathbb{C}-\{0\}$ s.t. $(\alpha'=\gamma\alpha,\beta'=\gamma\beta)$
によって同値関係を入れ、これによって作られる商集合 $(\mathbb{C}^2-\{(0,0)\})/\sim$ を $\mathbb{C}P^1$ と表し、複素射影直線*1と言います。また、 $(\alpha,\beta)$ を含む同値類を $[\alpha:\beta]$ と表します。
今、 $S^3$ から $\mathbb{C}P^1$ への写像 $f:S^3\to\mathbb{C}P^1$ を $f(\alpha,\beta)=[\alpha:\beta]$ によって定義すると、 $f$ は連続写像になります。
ところで、良く知られているように $\mathbb{C}P^1\approx S^2$ ですから、このことによって $S^3$ から $S^2$ への自明でない(つまり、像が一点ではない)連続写像が得られたことになります。この事実を反映して、 $S^2$ の 3 次のホモトピー群は $\pi_3(S^2)\stackrel{\sim}{=}\mathbb{Z}$ になります。一方で、 $S^2$ は 2 次元多様体なので、3 次以上のホモロジー群は自明です。ちょっと不思議ですね。

*1:実際には実 2 次元の多様体なのですが、複素 1 次元であることに倣って「直線」という表現をします。