Cramer の公式

数学・代数

今、ab'-a' b\not= 0 という条件の下で、連立方程式
\left\{\begin{align}ax+by&=c\\a' x+b' y&=c'\end{align}\right.
をせっせと解いてみると
x=\frac{cb'-c' b}{ab'-a' b},y=\frac{ac'-c' a}{ab'-a' b}
を得ます。ところで、これをちょっと書き直すと
x=\frac{\begin{vmatrix}c&b\\c'&b'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}},y=\frac{\begin{vmatrix}a&c\\a'&c'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}}
となります。何か法則性を感じませんか。
同じように
\left\{\begin{align}a_1x+b_1y+c_1z&=d_1\\a_2x+b_2y+c_2z&=d_2\\a_3x+b_3y+c_3z&=d_3\end{align}\right.
の解は
x=\frac{\begin{vmatrix}d_1&b_1&c_1\\d_2&b_2&c_2\\d_3&b_3&c_3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}},y=\frac{\begin{vmatrix}a_1&d_1&c_1\\a_2&d_2&c_2\\a_3&d_3&c_3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}},z=\frac{\begin{vmatrix}a_1&b_1&d_1\\a_2&b_2&d_2\\a_3&b_3&d_3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}}
となります。*1
このようなことは、もっと一般に n 個の未知数と n 個の式からなる連立一次方程式に対しても言えます。これを Cramer の公式 と言います。*2一般の形の Cramer の公式については、例えば「線型代数入門 (基礎数学1)」(齋藤正彦著、東大出版会)を参照してください。

*1:もちろん、分母の行列式が 0 でないという条件の下での話です。

*2:ちなみにこの Cramer は Gabriel Cramer の方です。