π の超越性(前編) - Red cat の数学よもやま話

次は $\pi$ の超越性です。それを示す前に、下準備をしておきます。
$\beta_1,\dots,\beta_m$ を整係数の方程式
$dx^m+d_1x^{m-1}+\dots+d_m=0$
の根の全体とするとき、解と係数の関係から分かることとして、 $d\beta_1,\dots,d\beta_m$ の任意の対称整多項式は $d_1,\dots,d_m$ の整多項式であり、従って整数となることに注意します。
さて、 $\pi$ が代数的であるとすると、 $i=\sqrt{-1}$ は代数的なので $i\pi$ もまた代数的です。従って $i\pi$ は整係数方程式
$dx^m+d_1x^{m-1}+\dots+d_m=0$
の根です。ただし $d\neq 0$ で、 $d_1,\dots,d_m$ は整数です。今、この方程式の根の全体を $\omega_1,\dots,\omega_m$ とすれば、いずれかの $\omega$ は $i\pi$ に等しいので
$1+e^\omega=1+e^{i\pi}=0$
が成り立ちます。従って
$(1+e^{\omega_1})\dots(1+e^{\omega_m})=0$
です。これを展開すると
$1+\sum_{t=1}^{2^m-1}e^{\alpha_t}=0$ … (1)
となります。ただし $\alpha_1,\dots,\alpha_{2^m-1}$ は $2^m-1$ 個の数
$\omega_1,\dots,\omega_m,\omega_1+\omega_2,\omega_1+\omega_3,\dots,\omega_1+\omega_2+\dots+\omega_m$
をある順番で並べたものです。そこで、これら $\alpha_t$ のうち、 $C-1$ 個は 0 で残りの $n=2^m-C$ 個は 0 でないとし、 $\alpha_t=0(n<t\leq 2^m-1)$ として問題ありません。
$d\alpha_1,\dots,d\alpha_n$ の任意の対称整多項式は $d\alpha_1,\dots,d\alpha_n,0,\dots,0$ 、すなわち $d\alpha_1,\dots,d\alpha_{2^m-1}$ の対称整多項式です。したがってそれは $d\omega_1,\dots,d\omega_m$ の対称整多項式ですから、最初の議論から、それは整数になります。
(1) 式を簡略化して
$C+\sum_{t=1}^n e^{\alpha_t}=0$ … (2)
と書いておくことにします。(続く)