ちょっとコーヒーブレイクを。 とします。 ですが、ここで と置換すると , すなわち となります。そこで両辺の が 1 から までの和をとって となるので と、 関数が 関数と定積分で表せます。ここで とおけば .

開核作用子を与えることによる定義 開核作用子は以下の性質をもつものでした。開核作用子の与えられた空間を とします。 ならば そこで、 の開集合系 を で定義します。これが開集合系の定義を満たすことを示します。まず 1. により であり、2. から なので …

一般に、現代数学では位相空間を定義する際に開集合系を与えるのが慣例になっていますが、それ以外の方法でも位相空間を定義できることを以前お話ししました。今日からしばらくは、それらが全て同等であることを見ていきます。 閉集合系を与えることによる定…

秋葉忠利・広島市長はご存知の方も多いと思いますが、実は id:yoshitake-h さんによると 彼は, かつてサトウ・ハジメ先生, 故カワクボ先生とともにトポロジー三羽烏と称された数学者でもあり, 佐武一郎「線型代数学」の序文にも登場する. とのこと。調べてみ…

Problem 17 で完全に頓挫しております。プログラムは書けたはずなんですが、出てくる答が正しくないと言われる…もしかして綴り間違ってるのか ?

Java でちまちまとプログラムを作りながら、とりあえず Problem 16 まで解きました。Problem 17 は「1 から 1000 までの各数を英語に直すと、合計で何文字になるか ? (ただし空白やハイフンは除く)」というもの。いくら私が英語が苦手と言っても、数字を英語…

「Project Euler」というサイトで、数学の問題が現在 293 問出題されています。私もプログラミングの復習を兼ねてちまちまと解いています(まだ 2 問だけですが)。皆さんも良かったら挑戦してみてはいかが ?

実は Pascal の定理とは何の関係も無かったの図。メネラウスの定理とか使うんでしょうかね ?

平面上の 2 次曲線上に 2 点を取ります。また、その 2 点とは別に 3 点を取ります。そして、最初に取った 2 点のそれぞれから、後から取った 3 点に向けて 3 本ずつ直線を引きます。後は図を見て了解していただくとして、2 次曲線に絡む共点定理ができます。…

今年もエイプリルフールがやってまいりました。今年は、私自身のネタではなく、秀逸な記事を発見しましたのでそちらの紹介。リーマン予想 ついに決着／akachan.aceの実験室上手い、実に上手い。これを見せられたら、今更自作のネタなど思いつきません。

150 次まで調べましたが、やはり 以外の係数が現れるのは 105 次のみ。うーん…。

サイトにアップしている円分多項式の表を 120 次まで追加しました。 以外の係数が出てくるのは 105 次だけでした。暇があったらもっと先、150 次くらいまで調べてみたいと思います。

復刊 可換環論作者: 松村英之出版社/メーカー: 共立出版発売日: 2000/09/01メディア: 単行本購入: 3人 クリック: 23回この商品を含むブログ (5件) を見るついに奮発して購入。これでもういちいち図書館で借りる必要がなくなった…!

図の赤線は C から辺 AB に下ろした垂線、G はその垂線の足。こうしてみれば円周角の定理から容易に証明できます。

図において AB = AC, AE = AD だから AB : AE = AC : AD. また ∠BAC = ∠EAD. よって △ABC ∽ △AED. したがって ∠AED = ∠ABC だから ED ∥ BC, すなわち ED ∥ GH. 同様にして FG ∥ DK, KH ∥ EF. 故に六角形 DEFGHK は向かい合う辺が平行な六角形であり, Pascal …

交点は三角形の辺上にある。良く考えれば…。

接円の位置関係次第では双曲線にもなります。

射影幾何の練習問題。青円は各頂点を中心とする円です。

6 という数字は実に不思議です。そのいくつかを紹介します。 非可換群が現れる最小の位数 位数が 1 〜 5 までの有限群の同型類は可換群しか現れません。しかし 6 になって非可換群が登場します。ちなみにそれは 3 次対称群 に同型です。 6 次の Euler 方陣は…

私のサイトでやっている「数検に挑戦 !」のコーナーなのですが、解答を寄せてくれる人がいなくて寂しいです。難易度を上げ過ぎると挑戦する人が少なくなると思い、2 級 〜 準 1 級(高校生なら解けるレベル)の問題を中心に展開しているのですが…もしかして難…

選択関数と選択公理 最後に、選択公理の別の形を紹介しておきます。 が集合 の選択関数であるとは のことを言います。空でない集合族から一つずつ要素を選んでいる関数です。ここで新たな命題を用意します。 (IX') 全ての集合は選択関数を持つ。 この命題に…

クラス関数について、割と頻繁に使われる定理を一つ証明しておきます。 定理 F がクラス関数で、u は に含まれる集合とする。このとき は集合である。したがって は関数。 は集合である。(証明) が集合であることが分かれば、 が集合となることは直ちにわか…

クラス関数の単射・全射・全単射 はクラスである. のとき、 です。ここに は F の逆関係です。このとき です。 は固有クラスになります。なぜなら、もし が集合ならば、これを u とおくと なので となって正則性公理に反するからです。 が固有クラスですから…

クラス関数 クラス F が関係であって を満たすならば、F はクラス関数であると言います。F が集合ならば単に関数と言います。関数の全体はクラスをなすので、これを Func で表します。また、F がクラス関数であることを で表します。ここで勘弁の為に記号 を…

クラスの直積と関係 クラス A , B が与えられたとき を A と B の直積と言います。特に集合 u と v の直積 は集合 の部分クラスなので集合になります。3 個以上のクラスの直積は で帰納的に定義します。 の部分クラスのことを、A , B 上の関係*1と言い、また…

クラスの相等 今、パラメータ付き論理式 によって与えられるクラス と、同じくパラメータ付き論理式 によって与えられるクラス があったとします。このとき … (*) と定義します。 を用いた簡便法で書けば と、集合における外延公理のようにも書けますが、こ…

以前、当ブログで Zermelo-Fraenkel 公理系を紹介しました。そのうちの一つ、置換公理図式から導かれた分出公理図式を再掲します。 (VII)' 分出公理図式 この公理によって定まる集合を と書くことができます。ところで、この公理で の条件を外した は公理と…

旧・数学道場の問題 1 に別解を追加しました。この別解は「数学ガール」の登場人物、ミルカさんによるものです。この場を借りて、著者である結城浩さん(id:hyuki)に感謝いたします。

あまりに結果が綺麗だったので、「数学ガール」から引用します。Fibonacci 数列は、次の漸化式で定義されます。 一般に、数列 に対して、べき級数 を、数列 の母関数と言います。今、Fibonacci 数列の母関数を とおきましょう。すると から となり、 以降の…

数学ガール (数学ガールシリーズ 1)作者: 結城浩出版社/メーカー: SBクリエイティブ発売日: 2007/06/27メディア: 単行本購入: 58人 クリック: 1,055回この商品を含むブログ (967件) を見る数学ガール/フェルマーの最終定理 (数学ガールシリーズ 2)作者: 結城…