クラス(その 3)

数学・基礎論

クラスの直積と関係

クラス A , B が与えられたとき
A\times B=\{z|x\in A\wedge y\in B\wedge z=\langle x,y\rangle\}=\{\langle x,y\rangle|x\in A\wedge y\in B\}
を A と B の直積と言います。特に集合 u と v の直積 u\times v は集合 \mathcal{P}^2(u\cup v) の部分クラスなので集合になります。

3 個以上のクラスの直積は
A_1\times A_2\times\dots\times A_n=A_1\times(A_2\times\dots A_n)
で帰納的に定義します。

A\times B の部分クラスのことを、A , B 上の関係*1と言い、また A\times A の部分クラスのことを、A 上の関係 と呼びます。例えば
\{\langle x,x\rangle|x\in A\}\subseteq A\times A
は対角線クラスと呼ばれ、A 上の相等関係に他なりません。V 上の関係のことを単に「関係」と呼ぶこともあります。

クラス A (関係である必要はない)に対し、{\rm Dom}(A)=\{x|\exists y(\langle x,y\rangle\in A)\} を A の定義域、{\rm Rng}(A)=\{y|\exists y(\langle x,y\rangle\in A)\} を A の値クラスと呼びます。

R が関係のとき、R^{-1}=\{\langle x,y\rangle|\langle y,x\rangle\in R\} を R の逆関係と呼び、また
R|A=\{\langle x,y\rangle|\langle x,y\rangle\in R\wedge x\in A\wedge y\in A\}=R\cap(A\times A)
を R の A への制限と言います。

*1:むしろ「A から B への対応」と呼びたいところですが。