クラス(その 4)

数学・基礎論

クラス関数

クラス F が関係であって
\langle x,y\rangle\in F\wedge\langle x,z\rangle\in F\rightarrow y=z
を満たすならば、F はクラス関数であると言います。F が集合ならば単に関数と言います。

関数の全体はクラスをなすので、これを Func で表します。また、F がクラス関数であることを {\rm Func}(F) で表します。

{\rm Func}=\{f|{\rm Func}(f)\}=\{f|f\subset V\times V\wedge\forall x\forall y\forall z(\langle x,y\rangle\in f\wedge\langle x,z\rangle\in f\rightarrow y=z)\}

ここで勘弁の為に記号 \iota を、\exists !x\varphi(x) ならば \iota x\varphi(x)=x と、その他の場合は \emptyset となるように定め、
F`x=\iota y(\langle x,y\rangle\in F)
と定めます。もし x\in{\rm Dom}(F) ならば、これを F の x における値と言います。クラス関数の値は常に集合になります。

F|A=\{\langle x,y\rangle|\langle x,y\rangle\in F\wedge x\in A\}
を F の A への制限と言います。F``A={\rm Rng}(F|A) は F|A の値クラスであり、F``A=\{F`x|x\in A\} とも書き表せます。F による A の像とも呼ばれます。

F がクラス関数で {\rm Dom}(F)=A,{\rm Rng}(F)\subseteq B ならば
F:A\to B
と書き、A から B へのクラス関数と言います。単に A 上のクラス関数ということもあります。