クラス(その 5)

数学・基礎論

クラス関数の単射・全射・全単射

{\rm Func}_1{\(F)\equiv{\rm Func}(F)\wedge\forall x\forall y(x,y\in{\rm Dom}(F)\wedge x\neq y\rightarrow F`x\neq F`y)
{\rm Func}_1=\{f|{\rm Func}_1(f)\} はクラスである.
F{\rm Func}A\equiv{\rm Func}(F)\wedge{\rm Dom}(F)=A
F{\rm Func}_1A\equiv{\rm Func}_1(F)\wedge{\rm Dom}(F)=A
F:A\overset{1-1}{\longrightarrow}B\equiv(F:A\rightarrow B)\wedge{\rm Func}_1(F)
F:A\underset{\rm onto}{\longrightarrow}B\equiv(F:A\rightarrow B)\wedge{\rm Rng}(F)=B
F:A\overset{1-1}{\underset{\rm onto}{\longrightarrow}}B\equiv(F:A\overset{1-1}{\longrightarrow}B)\wedge(F:A\underset{\rm onto}{\longrightarrow}B)

F:A\overset{1-1}{\underset{\rm onto}{\longrightarrow}}B のとき、F^{-1}:B\overset{1-1}{\underset{\rm onto}{\longrightarrow}}A です。ここに F^{-1} は F の逆関係です。このとき
(F^{-1})`b=a\leftrightarrow F`a=b
です。

{\rm Func}_1 は固有クラスになります。なぜなら、もし {\rm Func}_1 が集合ならば、これを u とおくと f=\{\langle u,\emptyset\rangle\}\in{\rm Func}_1=u なので
u\in\{u\}\in\{\{u\},\{u,\emptyset\}\}\in f\in u
となって正則性公理に反するからです。{\rm Func}_1 が固有クラスですから、それを含む {\rm Func} も固有クラスになります。

さて、u , v を集合とするとき、クラス関数 F:u\to v は集合ですから、それは関数になります。また、u から v への関数全体も集合になります。これを v^u で表すことは以前もやりました。