クラス(その 6) - Red cat の数学よもやま話

クラス関数について、割と頻繁に使われる定理を一つ証明しておきます。

定理

F がクラス関数で、u は ${\rm Dom}(F)$ に含まれる集合とする。このとき $F``u$ は集合である。したがって $F|u$ は関数。 $\bigcup F``u$ は集合である。

(証明)
$F``u$ が集合であることが分かれば、 $\bigcup F``u$ が集合となることは直ちにわかる。

F が $\varphi$ によって定義されたクラスであれば
$F=\{\langle x,y\rangle|\varphi(x,y)\},\forall x\forall y\forall z(\langle x,y\rangle\in F\wedge\langle x,z\rangle\in F\rightarrow y=z)$
であるから、置換公理の前提が満たされる。よって
$\forall y(y\in v\leftrightarrow\exists x\in u\varphi(x,y))$
なる集合 v が存在する。 $v=F``u$ は明白である。また、 $F|u\subseteq u\times F``u$ であるから、 $F|u$ は集合であり、したがって関数である。

この定理によって集合であることが保障される $\bigcup F``u$ を $\bigcup\{F``x|x\in u\}$ または $\bigcup_{x\in u}F``x$ と書くこともあります。