クラス(その 7・最終回)

数学・基礎論

選択関数と選択公理

最後に、選択公理の別の形を紹介しておきます。

f が集合 w の選択関数であるとは
f{\rm Func}(w-\{\emptyset\})\wedge\forall x\in w-\{\emptyset\}(f`x\in x)
のことを言います。空でない集合族から一つずつ要素を選んでいる関数です。ここで新たな命題を用意します。

(IX')

全ての集合は選択関数を持つ。
\forall w\exists f(f{\rm Func}(w-\{\emptyset\})\wedge\forall x\in w-\{\emptyset\}(f`x\in x))

この命題に関しては、次の定理が成り立ちます。

定理

{\rm ZF}\vdash{\rm (I\!X)}\leftrightarrow{\rm (I\!X')}

(証明)
(←) ZF + (IX') で考える。(IX) を証明するために
\forall x(x\in z\rightarrow x\neq\emptyset)\wedge\forall x\forall y(x,y\in z\wedge x\neq y\rightarrow x\cap y=\emptyset)
なる集合 z をとる。このとき (IX') により選択関数 f が存在する。z-\{\emptyset\}=z である。u=f``z は z に対する選択集合である。
(→) ZF + (IX) で考える。任意に w-\{\emptyset\}\neq\emptyset なる集合 w をとる。
z=\{\{x\}\times x|x\in w-\{\emptyset\}\}
は集合であり、z の各要素は空でなく、またどの二つの要素も互いに素であるから、z の選択集合 u が存在する。
\langle x,y\rangle\in f\leftrightarrow\langle x,y\rangle\in(\{x\}\times x)\cap u
とすれば、f は w の選択関数である。